循环矩乘——Luogu3746/BZOJ4870 [SHOI2017]组合数问题

本文介绍了一种使用循环矩乘优化动态规划(DP)的方法,通过构建特定的矩阵形式来加速DP过程,使得时间复杂度从O(k^3logn)降低到O(k^2logn)。

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题面:BZOJ4870 Luogu3746
第一次接触循环矩乘。。。
首先我们可以考虑DP, f[i][j] 表示在i个物品中选取 modk 下余j的方案数。
状态转移很好想, f[i][j]=f[i1][j]+f[i1][(j1+k)modk]
然后发现这个DP可以用矩乘优化,矩阵大概长这个样子:

1000111000011000001000011

如果直接矩乘的话时间复杂度是 O(k3logn) ,可以通过了
但是可以发现每一行都是上一行向右移一位,这是一个循环矩阵
循环矩阵有一个性质,循环矩阵自乘还是循环矩阵
所以其实我们只需记录第一行的信息就可以了,因为下面的信息可以通过上面信息平移得到
所以我们就可以把矩阵乘法这个地方优化到 O(k2) ,总的时间复杂度是 O(k2logn) ,很优秀了

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <map>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <climits>
#include <set>
#include <vector>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int k=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){k=k*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return k*f;
}
struct juzhen{
    int a[510];
    inline void clear(){memset(a,0,sizeof a);}
}f;
int t,n,k,r,MOD;
inline juzhen cheng(juzhen a,juzhen b){
    juzhen c;c.clear();
    for(int i=0;i<k;i++)
        for(int j=0;j<k;j++)c.a[(i+j)%k]=(c.a[(i+j)%k]+a.a[i]*b.a[j]%MOD)%MOD;
    return c;
}
inline juzhen mi(juzhen a,int b){
    juzhen x,y;x=a;y=a;
    while(b){
        if(b&1)x=cheng(x,y);
        y=cheng(y,y);b>>=1;
    }
    return x;
}
signed main()
{
    n=read();MOD=read();k=read();r=read();
    f.clear();
    f.a[0]++;f.a[1%k]++;
    f=mi(f,n*k-1);
    printf("%lld\n",f.a[r]);
    return 0;
}
<think>我们首先需要理解题目要求:解决洛谷P10475题。但是,由于我无法直接访问外部链接,请提供题目描述或者题目要求。 不过,根据题号P10475,我猜测这可能是一个模拟题或者算法题(因为洛谷的题目编号较大,通常涉及各种算法)。由于没有具体题目,我将无法给出具体的解答。 但是,为了遵循你的要求,我将假设一个常见的题目类型(例如排序、搜索、动态规划等)并给出一个示例解答。如果你能提供题目描述,我将给出更精确的解答。 假设题目是一个排序问题(例如快速排序),那么我将按照要求给出代码和解释,然后提出相关问题。 注意:由于没有具体题目,以下示例为快速排序的Python实现。 如果你有具体的题目(P10475)描述,请提供,我将针对题目解答。 示例:快速排序</think>由于我无法访问外部链接(如洛谷题目 P10475),请提供该题目的具体描述或要求。以下是一个通用示例:假设题目要求实现快速排序算法,我将展示详细解答。若实际题目不同,请补充描述,我会重新解答。 --- ### 问题:实现快速排序(Python) **解决方案**: ```python def quick_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr pivot = arr[len(arr) // 2] # 选择中间元素作为基准 left = [x for x in arr if x < pivot] # 小于基准的子数组 middle = [x for x in arr if x == pivot] # 等于基准的子数组 right = [x for x in arr if x > pivot] # 大于基准的子数组 return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right) # 递归合并 # 测试代码 if __name__ == "__main__": arr = [3, 6, 8, 10, 1, 2, 1] sorted_arr = quick_sort(arr) print("排序结果:", sorted_arr) # 输出: [1, 1, 2, 3, 6, 8, 10] ``` ### 代码解释: 1. **基准选择**: 选取数组中间元素作为基准值(`pivot`),避免极端情况下的性能退化。 2. **分区操作**: - `left`:存储所有小于 `pivot` 的元素。 - `middle`:存储所有等于 `pivot` 的元素(处理重复值)。 - `right`:存储所有大于 `pivot` 的元素。 3. **递归排序**: 对 `left` 和 `right` 子数组递归调用 `quick_sort`,最后合并结果(`left + middle + right`)。 4. **终止条件**: 当子数组长度 ≤ 1 时直接返回(无需排序)。 --- ### 算法特性: - **时间复杂度**: - 平均情况:$O(n \log n)$ - 最坏情况(已排序数组):$O(n^2)$,可通过随机选择基准优化。 - **空间复杂度**:$O(\log n)$(递归栈空间)。 ---
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