乘法爆long long的解决方案

我们有两个数a,b，要求a*b%p的结果。

如果a和b虽然都不超过long long，但乘在一起就超过了怎么办呢？

这里提供两种解决方案，适用于两种不同情况。

1、用龟速乘。

我们来想想，a*b的本质是什么？是b个a相加对吧？

相信大家都学过快速幂，快速幂求的是b个a相乘，那么我们灵活改一下，把它变成b个a相加，应该很简单吧？

这样由于是一点一点加上去的，每次加都取模，所以就不会爆long long了。

这就是龟速乘，时间复杂度同快速幂一样，是log（b）的。

模板：

long long cheng(long long a,long long b)
{
	long long s=0;
	while (b)
	{
		if (b&1) s=(s+a)%Mo;
		a=(a+a)%Mo;
		b>>=1;
	}
	return s;
}

2、用一种我并不知道名字的黑科技

我们先来分析一下上面这种做法的优劣：

好处是只要a,b在long long内，无论它们乘起来多大，都可以做。

劣势是时间复杂度是log(b)的，比起正常乘法来太慢了。

 

那我们有没有时间复杂度是O(1)的呢？

当然有，下文便是。 

不过接下来提供的做法只适用于a*b没有超过long long太多的情况（即a,b并不算大，大概均在10^12左右）

设一个常数t。

令x1=a/t，x2=a%t

   y1=b/t，y2=b%t

显然a*b=(x1*t+x2)*(y1*t+y2)=x1*y1*t*t+x1*y2*t+x2*y1*t+x2*y2。

我们要让这中间两个数乘起来均不超过long long即可。

具体t的取值参照a,b的大小，可自行考虑。（例如a,b均小于10^12时，t=10^6为宜）

这样，就可以实现边乘边模始终不爆啦。

O（1）实现！

补充一下，这种做法的本质其实是把龟速乘的转二进制改成了转10^6进制