[实例] 误差估计

误差估计

实际工程中，我们经常需要计算目标经纬高信息的最大误差范围。设备通过北斗定位模块获取自身经纬高信息，并配有激光测距设备、倾角传感器等，测量目标的方位角、俯仰角和距离。假如各种传感器的误差如下：

• 北斗定位水平误差：≤10m (RMS)
• 北斗定位高程误差：≤10m (RMS)
• 北斗航向角误差：≤0.1° (1σ)
• 设备方位角俯仰角测量误差：≤0.1°
• 激光测距误差：≤5米
• 倾角传感器误差：≤0.1°（已包含在方位角俯仰角误差中）

假设目标距离为8km。为了计算最大误差范围，我们假设所有误差源在最坏情况下叠加，即取绝对值之和。绝对方位角误差由航向角误差和方位角测量误差合成，取0.2°；俯仰角误差取0.1°。

下面我们计算误差范围。

数学原理

目标在ENU坐标系中的误差计算：

• 测量水平误差： $H_m=d\cdot \sqrt{(\Delta {\beta }_{\text{rad}}{)}^2+(\Delta {\theta }_{a,\text{rad}}{)}^2}$
• 测量垂直误差： $\Delta u_m={\max }_{\beta }\left[\Delta d\cdot |\sin \beta |+d\cdot \Delta {\beta }_{\text{rad}}\cdot |\cos \beta |\right]$
• 总水平误差： $\Delta H_{\text{total}}=\Delta H_{\text{device}}+H_m$
• 总垂直误差： $\Delta V_{\text{total}}=\Delta V_{\text{device}}+\Delta u_m$

其中：

• $d=8000\text{m}$
• $\Delta d=5\text{m}$
• $\Delta {\beta }_{\text{deg}}=0.1^{\circ }$，转换为弧度： $\Delta {\beta }_{\text{rad}}=\Delta {\beta }_{\text{deg}}\cdot \frac{\pi }{180}$
• $\Delta {\theta }_{a,\text{deg}}=0.2^{\circ }$，转换为弧度： $\Delta {\theta }_{a,\text{rad}}=\Delta {\theta }_{a,\text{deg}}\cdot \frac{\pi }{180}$
• $\Delta H_{\text{device}}=10\text{m}$
• $\Delta V_{\text{device}}=10\text{m}$

Python代码实现

以下代码计算目标经纬高的最大误差范围（水平和高程），单位为米。

import math

# 给定参数
d = 8000  # 距离，单位：米
delta_d = 5  # 测距误差，单位：米
delta_beta_deg = 0.1  # 俯仰角误差，单位：度
delta_theta_a_deg = 0.2  # 绝对方位角误差，单位：度
delta_device_horizontal = 10  # 设备水平误差，单位：米
delta_device_vertical = 10  # 设备高程误差，单位：米

# 将角度误差转换为弧度
delta_beta_rad = math.radians(delta_beta_deg)
delta_theta_a_rad = math.radians(delta_theta_a_deg)

# 计算测量水平误差
H_m = d * math.sqrt(delta_beta_rad**2 + delta_theta_a_rad**2)

# 计算测量垂直误差最大值
# 定义函数 f(beta) = delta_d * sin(beta) + d * delta_beta_rad * cos(beta)
# 通过求导找到最大值点：tan(beta) = delta_d / (d * delta_beta_rad)
beta_opt = math.atan2(delta_d, d * delta_beta_rad)
max_vertical_measurement = delta_d * math.sin(beta_opt) + d * delta_beta_rad * math.cos(beta_opt)

# 总误差
total_horizontal_error = delta_device_horizontal + H_m
total_vertical_error = delta_device_vertical + max_vertical_measurement

# 输出结果
print(f"测量水平误差: {H_m:.2f} m")
print(f"测量垂直误差最大值: {max_vertical_measurement:.2f} m")
print(f"总水平误差: {total_horizontal_error:.2f} m")
print(f"总垂直误差: {total_vertical_error:.2f} m")

结果解释

运行上述代码，得到目标经纬高的最大误差范围：

• 水平误差：41.22米
• 高程误差：24.83米

这意味着目标的位置解算中，水平方向上的误差最大不超过41.22米，高程方向上的误差最大不超过24.83米。这些值是基于最坏情况下的误差叠加得到的保守估计。实际应用中，误差可能会小于此值。