质因数分解

算术基本定理Fundamental Theorem of Arithmetic
凡是正整数都可以藉由质因数分解成为一个独一无二的式子，不同的n 就会对应不同的(n1, n2, … ) ，反方向亦同。

根据算术基本定理，凡是牵扯到乘法、因数、倍数的数学运算，都可以改变成比较简单的运算。

分解前| 分解后
n | (n1, n2, ...)
m | (m1, m2, ...)
-----------+--------------------------------------
乘除法| 加减法
n × m | (n1 + m1, n2 + m2, ...)
n ÷ m | (n1 - m1, n2 - m2, ...)
|
整除| 大于等于
n % m = 0 | (n1, n2, ...) ≥ (m1, m2, ...)
m | n | n1≥m1 and n2≥m2 and ...
|
最大公因数| 最小值
gcd(n, m) | (min(n1, m1), min(n2, m2), ...)
|
最小公倍数| 最大值
lcm(n, m) | (max(n1, m1), max(n2, m2), ...)
|
互质| 对应项必须有零
n⊥m | min(n1, m1) = 0 and min(n2, m2) = 0 and ...

| n1*m1 = 0 and n2*m2 = 0 and ...

把所有可能的因数拿来试除。用质因数会更好；可以预先建立质数表。

void  trial_division ( int  n )
{
    // 穷举所有可能的因数，一一试除。
    for  ( int  d = 2 ;  d <= n ; ++ d )
        while  ( n  %  d  ==  0 )
        {
            n  / =  d ;
            cout  <<  d ;   //印出质因数
        }
}
 
void  trial_division ( int  n )
{
    // 一个数字n不会有大于sqrt(n)的质因数（除了n本身以外）
    int  sqrt_n  =  sqrt ( n );
    for  ( int  d = 2 ;  d <= sqrt_n ; ++ d )
        while  ( n  %  d  ==  0 )
        {
            n  / =  d ;
            cout  <<  d ;   //印出质因数
        }
 
    if  ( n  >  1 )  cout  <<  n ;    // n是质数
}

把一个数字分解成两个数的乘积（这两个数不一定是质数）。一直递回分解下去，无法再分解的时候就找到质因数了。分解手法如下：

现在要找出a 和b 让n = a*b
运用平方差公式x^2 – y^2 = (x+y) * (xy)
令n = x^2 – y^2, a = x+y, b = xy
穷举整数x，看看sqrt(x^2-n) 是不是刚好就是一个整数y，
如果是整数就找到一组a 和b 了。

void  fermat ( int  n )
{
    for  ( int  x  =  sqrt ( n );  x < n ; ++ x )
    {
        int  yy  =  x  *  x  –  n ,  y  =  sqrt ( yy );
        if  ( y  *  y  ==  yy )     //如果sqrt(x^2-n)是整数
        {
            int  a  =  x  +  y ,  b  =  x  –  y ;
            cout  <<  "n ="  <<  a  <<  "*"  <<  b ;
 
            // 递回分解a和b，继续质因数分解。
            fermat ( a );  fermat ( b );
        }
    }
}