15、样本因子分解与数据分析

样本因子分解与数据分析

1. 样本与因子矩阵的表示

在数据分析中，我们通常会遇到样本矩阵 (S) 和因子矩阵 (F)。这里，单个样本是样本矩阵 (S) 的行，而单个因子是因子矩阵 (F) 的行。不过，这种表示方式与通常使用列向量的约定有所不同。为了处理这种符号上的不一致，我们仍使用列向量符号来表示单个样本 (s(i)) 和因子 (f(i))，然后将 (S) 和 (F) 分别看作是由 (s(i)^T) 和 (f(i)^T) 的行组成。

我们将一个包含 (N\times M) 个量的问题转化为了包含 (N\times P + P\times M) 个量的问题。这种转化是否构成简化取决于 (P) 的值（即 (N\times P + P\times M) 与 (N\times M) 的大小关系）以及因子的物理解释。当因子具有特别有意义的解释时，比如在矿物分析中，我们可能愿意容忍参数数量的增加。

当因子矩阵 (F) 已知时，可以使用最小二乘法来确定系数 (C)。通过将方程 (F^TC^T = S^T) 转化为标准形式 (Gm = d)，其中 (d) 是 (S^T) 的给定列，(m) 是 (C^T) 的相应列，(G = F^T)，就可以独立计算 (C^T) 的每一列。然而，在许多情况下，因子的数量 (P) 和因子矩阵 (F) 本身都是未知的。

因子的数量 (P) 没有上限，但通常最多需要 (P = M) 个因子来精确表示任何一组样本（即每个元素对应一个因子）。不过，由于测量噪声的存在，确定 (P) 的最小值往往有些模糊。而且，如果近似 (S\approx CF) 足够好，我们可以选择使用小于精确表示数据所需的 (P) 值。

即使指定了 (P)，确定 (