23、单位二变量不等式（UTVPI）的插值生成

单位二变量不等式（UTVPI）的插值生成

1. 动机与目标

在形式验证领域，Craig插值的计算问题备受关注。当两个公式 $A$ 和 $B$ 使得 $A \land B$ 不一致时，对于 $(A, B)$ 的Craig插值 $I$ 需满足：$A$ 蕴含 $I$，$I \land B$ 不一致，且 $I$ 中的所有未解释符号同时出现在 $A$ 和 $B$ 中。

插值在形式验证中是重要工具，例如在基于反例引导的抽象精化（CEGAR）的软件模型检查中，合适理论下无量词公式的插值可用于自动精化抽象，排除虚假反例。

近年来，针对一些感兴趣的理论，如等式和未解释函数（EUF）、有理数上的线性算术（LA(Q)）及其组合，已经提出了高效的插值生成算法和工具。然而，在许多应用中，有理数域往往不足以精确表示变量，整数域能更准确地表示变量。但整数线性算术（LA(Z)）的插值计算比LA(Q)困难得多，目前已知的基于量词消除的算法通常成本过高，还需引入整除谓词。

因此，研究LA(Z)的片段插值很有必要。单位二变量不等式（UTVPI）理论是LA(Z)的一个重要片段，公式是形如 $(0 \leq ax_1 + bx_2 + k)$ 的原子的布尔组合，其中 $x_i$ 是整数变量，$k$ 是整数常量，$a, b \in {-1, 0, 1}$。UTVPI 推广了差分逻辑（DL(Z)），是LA(Z)中具有多项式时间决策过程的最具表达力的片段之一，能自然表达许多硬件和软件验证问题的查询。

本文的贡献是提出了首个UTVPI的插值算法，该算法分两个阶段工作。第一阶段检查UTVPI约束的合取在有理数域（UTVPI(Q)）中是否不一致，若是，则通过差分逻辑（DL）的基于图的算法的推广