任意自然数分解为连续自然数和问题

 

          前天，得知一个朋友去了网易应聘，只是在笔试中遇到几个比较麻烦的算法问题(主要是在考试限时内有难度)，告诉我们几个相熟的共同探讨，任意自然数N分解为连续自然数和问题就是其中之一。这个问题很容易就能得到其长为k+1的序列和必然有等于0~k之和加上k+1个m的规律，但是要想得到高效的算法就必须先找到一个理想的边界条件，这样才能有效减少不必要的查找，一旦边界不对则得不到完整正确的解。一开始我总想直接求出最长序列以便得到其长度，然而实在是数学功底差，不得不求其次另找了个差一些的条件，这个条件就是：当当前序列的长度k对应的0~k之和大于该自然数N时，测试终止。这个原理很容易理解吧？

以下就是代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;

int main(void)
...{
    int N = 0;
    cout<<"请输入N: ";
    while(!(cin>>N))
    ...{    
        cout<<"input fail,please retry!"<<endl;
        cout<<"请输入N: ";
        cin.clear();
    }
    int k = 0;
    int m = N;
    int i = 0;
    int big,small,pre_i;//这里的几个变量不过十位了让代码的含义更清晰,其实完全可以省略.
    int j = 0;               //这个主要是为了测试和分析方便,也不是必要的.
    do
    ...{
        pre_i = k = k+i;
        m = (N-k)/(i+1);
        if(N == m*(i+1)+k)
        ...{
            big = m+i;
            small = m;
            ++j;
            cout<<"circle ["<<i+1<<"];  from  "<<small<<"  to  "<<big<<endl;
        }
        ++i;
    }while(N>pre_i+1);//如果N<pre_i(前i项和),说明达到最长序列
    cout<<"circles["<<i<<"]  total "<<j<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

 

下面是测试1：

可以看出，就这个数字来说，复杂度相差很小，近乎理想。那么再试试另一个：

看看，和理想的640次循环相比多了将近一倍。然而这个差距并非单调递增的。

不过效率还是可以的，在我的酷睿E6300机器上可以说一闪而过，主要是输出操作占用了比较长的时间。

 

        然而。。。。。当N接近数据类型上限时，溢出问题太严重了，补救方法是将while循环条件中的数据强制转换成无符号以提高数据上限。尽管数学理论没有错，但是显然不适合计算机实现。这让我想起有人认为，研究算法的可以完全不会写代码，甚至不了解计算机原理，这可能么？就像上面这个算法，理论上有错么？然而实际条件给限制了。不理解数据怎么溢出，就不能提前预见这种错误，那么费了半天神想出的算法只能是空谈。

        而另一重解决方案是预估计序列的最大长度，再用这个长度作为循环结束条件，经分析，最大长度应该为：

                      int maxLength = pow(N* 2.0,0.5) + 1;

从而程序修改如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
int main(void)
...{
    int N = 0;
    cout<<"请输入N: ";
    while(!(cin>>N))
    ...{    
        cout<<"input fail,please retry!"<<endl;
        cout<<"请输入N: ";
        cin.clear();
    }
    int k = 0;
    int m = N;
    int i = 0;
    int big,small,pre_m;//这里的几个变量不过十位了让代码的含义更清晰,其实完全可以省略.
    int j = 0;          //这个主要是为了测试和分析方便,也不是必要的.
    int maxLength = pow(N* 2.0,0.5) + 1;//这是我们估计的最长序列长度。
//  int maxLength = log((double)N);
    cout<<"maxLength = "<<maxLength<<endl;
    do
    ...{
        k = k+i;
//      pre_m =k;
        m = (N-k)/(i+1);
        if(N == m*(i+1)+k)
        ...{
            big = m+i;
            small = m;
            ++j;
            cout<<"circle ["<<i+1<<"];  from  "<<small<<"  to  "<<big<<endl;
        }
        ++i;
//  }while((unsigned)N>(unsigned)pre_m);//如果N<pre_i(前i项和),说明达到最长序列
    }while(i<maxLength);
    cout<<"circles["<<i<<"]  total "<<j<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}