20210101期百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙——S4 填空题第一题

题目来源

20210101 期百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙——S4，填空题第一题。

题目

将 $2^1,2^2,2^3,\cdots ,2^{100}$ 这 $100$ 个数两两求乘积，则所有不同的成绩之和为？
结果保留乘方形式。

题目解答

sum=[∑{i≠j}&&{i,j=1}100(2i∗2j)]×12=12×∑{i≠j}&&{i,j=1}100(2i+j)=12×(∑i,j=11002i+j−∑i=11002i+i)=12×(∑i,j=11002i+j−∑i=11004i)=12×(∑i1002i×∑j1002j−∑i=11004i)sum=[\sum_{{\{i \neq j\} \&\& \{i,j=1\}}}^{100}(2^i*2^j)] \times \frac{1}{2} \\=\frac{1}{2} \times \sum_{{\{i \neq j\} \&\& \{i,j=1\}}}^{100}(2^{i+j}) \\=\frac{1}{2} \times (\sum_{i,j=1}^{100}2^{i+j}-\sum_{i=1}^{100}2^{i+i}) \\=\frac{1}{2} \times (\sum_{i,j=1}^{100}2^{i+j}-\sum_{i=1}^{100}4^{i}) \\=\frac{1}{2} \times (\sum_{i}^{100}2^{i}\times \sum_{j}^{100}2^{j}-\sum_{i=1}^{100}4^{i})sum=[{i​=j}&&{i,j=1}∑100​(2i∗2j)]×21​=21​×{i​=j}&&{i,j=1}∑100​(2i+j)=21​×(i,j=1∑100​2i+j−i=1∑100​2i+i)=21​×(i,j=1∑100​2i+j−i=1∑100​4i)=21​×(i∑100​2i×j∑100​2j−i=1∑100​4i)
这样，我们利用等比数列求和公式可得
$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}\times [(2^{101}-2{)}^2-\frac{4^{101}-4}{3}] \\ =\frac{1}{2}\times (2^{202}-2\times 2^{101}\times 2+4-\frac{2^{202}}{3}+\frac{4}{3}) \\ =\frac{1}{2}\times (\frac{2^{203}}{3}-2^{103}+\frac{16}{3}) \end{gathered}$$
下面我们开始化简。观察到有 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$，将挎号外的 $\frac{1}{2}$ 约分，将挎号内的 $\frac{1}{3}$ 提取出来。得到
$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\times (2^{202}-3\times 2^{102}+8) \\ =\frac{1}{3}\times (2^{202}-3\times 2^{102}+2^3) \\ =\frac{8}{3}\times (2^{202-3}-3\times 2^{102-3}+1) \\ =\frac{8}{3}\times (2^{100}-1)\times (2^{99}-1) \end{gathered}$$
吐槽一下，才小学的东西，要不要这么难。