SWUST OJ 1804 二进制

最新推荐文章于 2023-06-25 12:01:09 发布

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分类专栏： ACM/ICPC_SWUST OJ ACM/ICPC_数位dp

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本文探讨了一种高效算法，用于计算0到n范围内所有自然数的二进制表示中‘1’的总数。通过使用数位动态规划（数位dp），文章提供了一个简洁且高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于一串自然数序列0,1,2,3,4,5,6......,n。
冰神给了你一个任务，就是求，0到n中，所有自然数的二进制码中的‘1’的个数
举个例子：当n=5的时候
十进制数         二进制数
-------------------------
0                  0
1                  1
2                 10
3                 11
4                100
5                101

0,1,10,11,100,101这5个二进制数中间共有7个‘1’出现，所以当n=5的时候，答案为7

输入数据多组，读入EOF的时候结束
每一行输入一个数n

对于每一个输出，答案占一行。

Case 1: 2
Case 2: 4
Case 3: 7
Case 4: 5744
Case 5: 239720074
Case 6: 240071643
Case 7: 12245574353

输入虽然只有2^32，但是输出会超出int，所以请选择合适的数据类型

【题意】如题。

【分析】数位dp。

【状态表示】dp[i]表示的是I位的二进制数里面1的个数，那么容易知道dp[1]=1，dp[i] = 2*dp[i-1] + (1<<(i-1));预处理dp数组之后，对输入的数n，从最高位到最低位，我们可以这样做，判断当前二进制中的这一位是否为1，如果是为1的话，那么ans += dp[i]+cur_ans*(1<<i)，（自行理解吧，我也很晕！）

【AC代码】

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[33];

int main()
{
    //Init.
    dp[0]=1;
    dp[1]=1;
    for(int i=2; i<=33; i++)
    {
        dp[i] = 2*dp[i-1]+(1<<(i-1));
    }
    for(int i=1; i<=33; i++)dp[i]++;
    LL n;
    int cas=1;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        LL ans=0;
        int cur_ans=0;
        for(int i=33; i>=0; i--)
        {
            int tmp = (n>>i)%2;
            if(tmp==1)
            {
                ans+=dp[i]+(1ll)*cur_ans*(1<<i);
                cur_ans++;
            }
        }
        printf("Case %d: %lld\n",cas++,ans);
    }
    return 0;
}