15、加权带存储自动机的乔姆斯基 - 舒滕贝格定理

加权带存储自动机的乔姆斯基 - 舒滕贝格定理

1. 引言

经典的乔姆斯基 - 舒滕贝格定理（CS 定理）表明，每个上下文无关语言都是 Dyck 语言与正则语言交集的同态像。该定理在不同领域有诸多扩展，如树邻接文法生成的字符串语言、多上下文无关语言、索引语言以及简单上下文无关树语言的产图像等。

在特殊权重设置下，上下文无关语言的 CS 定理已被证明，即语言中的每个单词与它的推导数量相关联。之后，该定理又被扩展到交换半环上的代数（形式）幂级数，以及幺赋值幺半群上的代数幂级数，即定量上下文无关语言。同时，定量上下文无关语言也可以由幺赋值幺半群上的加权下推自动机来刻画。最近，对于完全交换强双幺半群上的加权多上下文无关语言，CS 定理也得到了证明。

经典 CS 定理中，Dyck 语言中的字母集 Y 依赖于给定的上下文无关文法或下推自动机。一种替代方法是通过一个关于双字母表的同态 g 对 Y 进行编码，得到每个上下文无关语言 L 可以表示为 (L = h(g^{-1}(D_2) \cap R)) 的形式，其中 (D_2) 是双字母表上的 Dyck 语言。

我们将证明幺赋值幺半群上加权迭代下推自动机可识别的加权语言类的 CS 定理。加权语言是从 (\Sigma^*) 到某个权重代数的映射。迭代下推的思想可追溯到早期研究，并且迭代下推自动机接受的语言类形成了一个严格的无限层次结构。我们的主要结果是关于 K - 加权带存储自动机的 CS 定理，其中 K 是任意幺赋值幺半群。

2. 预备知识

• 符号和概念 ：非负整数集（包括 0）用 (N) 表示，([n]) 表示集合 ({i \in N