7、无边界图片：性质与构造

无边界图片：性质与构造

1. 引言

在字符串组合学中，研究字符串的结构和特殊模式在理论和应用方面都具有重要意义。对于字符串 $s$，若其子串 $x$ 既是 $s$ 的前缀又是后缀，则称 $x$ 为 $s$ 的双前缀（bi - fix）或边界（border）。若字符串 $s$ 除空字符串和自身外没有其他双前缀，则称 $s$ 为无双前缀字符串或无边界字符串。

无双前缀字符串与编码理论相关，还在模式匹配算法的数据结构中发挥作用。从应用角度看，它适合作为数字通信和类似通信协议中的同步模式。P.T. Nielsen 研究了给定字母表上无双前缀字符串的组合结构，并提供了一种递归枚举相同长度无双前缀字符串的算法。若字符串集合 $X$ 中任意字符串的前缀都不是其他字符串的后缀，则称 $X$ 为交叉双前缀自由码，相关构造方法也有研究。

随着对模式识别和图像处理的兴趣增加，二维图片语言的研究受到关注。二维字符串称为图片，它是由有限字母表 $\Sigma$ 中的符号组成的矩形数组。将形式语言理论的结果扩展到二维是一项具有挑战性的任务，因为二维结构在基本概念上存在固有困难。例如，图片之间的水平和垂直连接操作是部分操作，不会在图片集合 $\Sigma^{**}$ 上诱导出幺半群结构；删除图片的前缀后，剩余部分不再是图片。

许多研究人员探讨了如何将有限状态自动机的可识别性概念扩展到二维以接受图片语言，以及二维编码的相关问题。矩阵周期性在二维模式匹配中起着关键作用，二维准周期性也有研究。本文将研究无边界图片的概念，它与图片编码和二维模式匹配都有联系。

2. 预备知识

2.1 无边界字符串与 Nielsen 构造法

字符串是