BZOJ4361：isn（非降序列 & dp & 容斥）

最新推荐文章于 2019-03-13 17:08:36 发布

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本文介绍了一道算法题目，要求计算将一个序列变为非降序列的不同操作方案数量，并提供了详细的解题思路与代码实现。

4361: isn

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB
Submit: 401 Solved: 199
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Description

给出一个长度为n的序列A(A1,A2...AN)。如果序列A不是非降的，你必须从中删去一个数，

这一操作，直到A非降为止。求有多少种不同的操作方案，答案模10^9+7。

Input

第一行一个整数n。

接下来一行n个整数，描述A。

Output

一行一个整数，描述答案。

Sample Input

4
1 7 5 3

Sample Output

HINT

1<=N<=2000

Source

思路：dp[i][j]表示长度为i，结尾为位置j的非降序列个数，sum[i]表示长度为i的非降序列个数，dp通过离散化+树状数组计算，不赘述。最后利用sum数组得出答案，对于剩余长度为i的贡献个数，为sum[i]*fac[n-i]减去非法的个数sum[i+1]*fac[n-i-1]*(i+1)，因为非法的操作一定是从i+1转移到i的，对于每个i+1序列，恰好贡献了(i+1)*fac[n-i-1]次非法操作数，所以直接减掉它就是合法的个数。

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;
const int maxn = 2e3+3;
LL dp[maxn][maxn], s[maxn][maxn], fac[maxn]={1LL}, sum[maxn];
int a[maxn], b[maxn];
void update(int len, int pos, LL num)
{
    for(int i=pos; i<maxn; i+=i&-i)
    {
        s[len][i] += num;
        if(s[len][i] >= mod) s[len][i] -= mod;
    }
}
LL query(int len, int pos)
{
    LL res = 0;
    for(int i=pos; i>0; i-=i&-i)
    {
        res += s[len][i];
        if(res >= mod) res -= mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d",&n);
    m = n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]= a[i];
    }
    sort(b+1, b+1+n);
    m = unique(b+1, b+1+n)-b-1;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        a[i] = lower_bound(b+1,b+1+m,a[i])-b;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        dp[1][i] = 1LL;
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        update(i-1, a[i-1], dp[i-1][i-1]);
        for(int j=i; j<=n; ++j)
        {
            dp[i][j] += query(i-1, a[j]);
            if(dp[i][j] >= mod) dp[i][j] -= mod;
            update(i-1, a[j], dp[i-1][j]);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=i; j<=n; ++j)
        {
            sum[i] += dp[i][j];
            if(sum[i] >= mod) sum[i] -= mod;
        }
    LL ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        LL tmp = sum[i]*fac[n-i]%mod - sum[i+1]*fac[n-i-1]%mod*(i+1)%mod;
        tmp = (tmp + mod)%mod;
        ans = (ans + tmp)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}