冒泡排序算法

一直以为自己会冒泡排序算法的，但是真正执行程序之后才发现，我自以为的简单东西居然是我自己记错了!

好记性不如烂笔头啊！所以，今天起再简单的，细微的东西都会记录在博客里面!

下面冒泡排序：

伪代码：

BUBBLES-SORT(A)

for i = 1 to A.length - 1
	for j = A.length downto i + 1
		if A[j] < A[j - 1]
			exchange A[j] with A[j - 1]

b. 为第2~4行的 for 循环精确的说明一个循环不变式，并证明该循环不变式成立。

证明：

初始化：j = n, 子数组为 A[j..n] 即 A[n..n], 此过程中仅有一个元素因此A[j]是最小的元素

保持：如果A[j..n]中 A[j] 是最小的元素，那么当插入A[j-1]时，如果A[j] < A[j-1] 则互换A[j], A[j-1], 否则A[j-1]直接插入A[j..n]的最前面， 因此

A[j-1..n]数组里面A[j-1]<=A[j..n],即A[j-1]是数组A[j-1..n]最小元素之一(A[j-1] == A[j] 时，如果 A[j-1] < A[j] 时A[j-1]就是最小的元素)

终止：j = i 时循环终止, 此时A[j-1..n] 中, A[j-1]是最小的元素之一

数组A[ ] = {14, 2, 78, 5, 3, 30, 18, 25, 33, 10} 

排序图如下：

c. 使用(b)部分证明的循环不变式的终止条件，为第1~4行的for循环说明一个循环不变式，该循环不变式使你能证明不等式

A'[1] ≤ A'[2] ≤ ... ≤ A'[n] .

证明：

初始化: A[1..i] 当 i=1时 A[1..i]只有一个元素A[1],而A[1]这个元素又是(b)的循环从A[j..n]选出的最小元素，等式 A'[1] ≤ A'[2] ≤ ... ≤ A'[n]  成立

保持：已经排好序的数组A[1..i]，A[1] <= A[2] <= ... A[i],  因为每次(b)循环选出的都是A[i+1..n]中最小的元素，所以前面选出来的元素A[i]和后面选出的元素A[i+1]，

有关系如下：A[i] <= A[i+1]; 所以数组A[1..i]插入元素时都是在后面插入，所以A[1..i+1]也是排好序的, 即A'[1] ≤ A'[2] ≤ ... ≤ A'[i+1] 

终止：当 i = n -1 时，循环结束,此时 A[1..n-1]是已经排好序的. 故有 A'[1] ≤ A'[2] ≤ ... ≤ A'[n] .

C语言代码：

#include <stdio.h>
int main(void)
{
        int i, j, n;
        int a[] = {14, 2, 78, 5, 3, 30, 18, 25, 33, 10};
        int len = sizeof(a)/sizeof(int);
        printf("Before bubble sort:\n");
        for (i=0; i<10; ++i){
                printf("%d ", a[i]);
        }
        printf("\n");


        for (i=0; i< len -1; ++i){
                for (j= len - 1; j>= i+1 ; --j){
                        int tmp;
                        if (a[j] < a[j-1]){
                                tmp = a[j];
                                a[j] = a[j-1];
                                a[j-1] = tmp;
                        }
                }
                for (n=0; n < len; ++n){
                        printf("%d ", a[n]);
                }
                printf("\n");
        }
        printf("After bubble sort:\n");
        for (i=0; i<10; ++i){
                printf("%d ", a[i]);
        }
        printf("\n");
        return 0;
}

运行过程效果图