21、图的可见性理论：从线段可见性图到最大团计算

图的可见性理论：从线段可见性图到最大团计算

在图论和计算几何领域，图的可见性是一个重要的研究方向，它涉及到在各种几何图形中确定哪些顶点或边是相互可见的。本文将深入探讨线段可见性图、顶点 - 边可见性图以及如何在可见性图中计算最大团。

线段可见性图相关理论

对于线段可见性图，有一些重要的性质和定理。当 (1 ≤ i ≤ n - 1) 时，如果 (u_{i - 1}u_{i + 1}) 不是图 (H) 的边，那么 (u_{i}u_{i + 2}) 可以是 (H) 中的边；同理，如果 (w_{i - 1}w_{i + 1}) 不是 (H) 的边，(w_{i}w_{i + 2}) 也可以是 (H) 中的边。边 (u_1w_1) 和 (u_nw_n) 分别被称为 (H) 的第一条和最后一条链接。

图 (H) 是一个最大平面图，对应于集合 (S) 的一个三角剖分，并且它是一个线段可见性图，其中 (H) 中的链接对应于 (S) 中的垂直线段。实际上，集合 (D) 中的每个图都是线段可见性图，其 3 - 连通分量可以类似图 6.16(b) 那样嵌入。

有一个重要的定理：K5 - 自由线段可见性图的类恰好是 (D ∪ {G_f})。该定理的证明基于一些引理。要识别一个给定的图 (G) 是否为 K5 - 自由且 3 - 连通的线段可见性图，可以从 (G) 中度数为 3 的顶点开始，使用类似于识别塔多边形的算法逐链接进行标记。并且，一个具有 (2n) 个顶点的 K5 - 自由线段可见性图可以在多项式时间内被识别。

顶点 - 边可见性图的性质

假设简单多边形 (P) 的顶点按逆时针顺序标记为 (v_1, v_2, \cdots, v_n)，且 (P)