18、低秩与稀疏多任务学习详解

低秩与稀疏多任务学习详解

在多任务学习领域，整合低秩和稀疏表示是一种有效的方法，能够更好地捕捉任务之间的相关性。下面将详细介绍相关的理论和计算方法。

低秩与组稀疏结构的多任务学习

在多任务学习中，对于优化问题的近端算子可以表示为一般形式的优化问题：
[
\min_{L_z,S_z} |L_z - \hat{L} z|_F^2 + |S_z - \hat{S}_z|_F^2 + \hat{\alpha}|L_z| * + \hat{\beta}|S_z|_{1,2}
]
其中，(\hat{\alpha} = \frac{2\alpha}{\gamma_k})，(\hat{\beta} = \frac{2\beta}{\gamma_k})。可以很容易验证，(L_z)和(S_z)的优化是解耦的，并且该优化问题的最优解具有如下解析形式。

1. (L_z)的计算

(L_z)的最优解可以通过求解以下优化问题得到：
[
\min_{L_z} |L_z - \hat{L} z|_F^2 + \hat{\alpha}|L_z|
]
这个计算过程等同于矩阵收缩算子，本质上是对(\hat{L} z)的非零奇异值应用软阈值处理。具体来说，若给定任意的(\hat{L}_z)，设(\text{rank}(\hat{L}_z) = r)，其奇异值分解（SVD）的简化形式为(\hat{L}_z = \hat{U}_z\hat{\Sigma}_z\hat{V}_z^T)，其中(\hat{\Sigma}_z = \text{diag}({\sigma