2、非线性结构化低秩逼近相关研究

非线性结构化低秩逼近相关研究

在机器学习、计算机视觉和系统识别等领域，多项式结构化低秩逼近问题是一个具有广泛应用的通用问题。下面将详细介绍该问题在非线性系统识别、圆锥曲线拟合等方面的相关内容。

非线性系统识别

之前提到的圆锥曲线和子空间聚类应用具有多变量数据和非线性模型这两个主要特征。而在非线性系统识别中，还有一个额外的特征，即动态模型。这里的数据 $w$ 是一个时间序列：
$w = [w(1), \ldots, w(T)]$
其中 $w(t) \in R^q$，并且建模的关系涉及不同时刻的变量。

定义向后移位算子 $\sigma$ 为：
$(\sigma w)(t) = w(t + 1)$

有限维非线性多变量动态模型 $B$ 由 $w$ 的变量及其有限次移位 $\sigma w, \ldots, \sigma^{\ell} w$ 之间的关系 $R$ 定义，即：
$B(R) = { w | R(w, \sigma w, \ldots, \sigma^{\ell} w) = 0 }$
这被称为系统 $B = B(R)$ 的核表示。

与经典的将变量分为输入和输出的动态系统定义不同，在核表示中不进行这种区分。经典定义中，一个（非线性）动态系统是一个信号处理器，接受一个变量 $u$ 作为输入，产生另一个变量 $y$ 作为输出，在离散时间下，$u$ 和 $y$ 的关系可以由差分方程定义：
$y = f(u, \sigma u, \ldots, \sigma^{\ell} u, \sigma y, \ldots, \sigma^{\ell} y)$
对应的动态系统为：
$B