7、分类算法：从感知机到可微近似的深入解析

分类算法：从感知机到可微近似的深入解析

1. 分类问题概述

分类是一项重要的任务，旨在区分不同类型的事物。它在现代众多领域都有广泛应用，如计算机视觉、语音处理和数字营销等。在分类问题中，最基础的是二分类问题，像人脸检测（区分面部和非面部图像）、文本情感分析（判断产品评论是积极还是消极）以及医疗状况自动诊断（判断患者是否患有特定疾病）等。

2. 感知机成本函数

2.1 基本感知机模型

在二分类问题中，给定一个包含 $P$ 个输入/输出数据点 ${x_p, y_p}_{p = 1}^P$ 的训练集，其中输入 $x_p$ 是 $N$ 维的，输出 $y_p$ 取离散值 ${-1, +1}$ 表示类别。我们的目标是学习一个超平面 $b + x^T w = 0$，使得一个类别（$y_p = +1$）的点大多位于超平面上方（$b + x^T w > 0$），另一个类别（$y_p = -1$）的点大多位于超平面下方（$b + x^T w < 0$）。

若超平面能正确分类点 $x_p$，则满足：
- 当 $y_p = +1$ 时，$b + x_p^T w > 0$；
- 当 $y_p = -1$ 时，$b + x_p^T w < 0$。

可以将这两个条件合并为 $-y_p(b + x_p^T w) < 0$，进一步写成 $max(0, -y_p(b + x_p^T w)) = 0$。通过对所有点求和，得到感知机成本函数：
$g_1(b, w) = \sum_{p = 1}^P max(0, -y_p(b + x_p^T w))$

求解最小化问题 $\m