快速入门 FFT

快速入门 FFT

本文适合不想完全了解 FFT 原理不过想实现 FFT 算法的人

FFT 简介

FFT 也就是常说的快速傅里叶变换，其实本质上和傅里叶变换没有什么不同，也就是通过算法减少了一些乘法和加法的运算；DFT 的时间复杂度是 N² 级别的，而 FFT 的却是对数级别的复杂度，从而在 FFT 在数据量大的时候运算时间并不会高太多，这就使得 FFT 具有了在工程上的使用价值

FFT 算法简介

上面这张图是来自维基的介绍，简单来说的话，FFT 将数据按照索引地址按奇数和偶数分为两半，这两半数据还可以继续抽取，直到最后分解为单独的数据；然后利用了单位根的一些特性，减少了一些乘加步骤

但是顺序输入的数据，最后得到的结果是乱序的；为了得到顺序的输出，一般我们会将输入数据提前进行整理；因为 FFT 的输出索引地址会位反转，可以利用这个特性提前整理好输入数据，例如：输入 [1 2 3 4 5 6 7 8] 就整理为 [1 5 3 7 2 6 4 8]

FFT 第一个版本实现

最开始我为了能弄懂 FFT ，我就通过手算来了解 FFT 的过程，也就是通过上面那张图中的公式，一级级计算 FFT 的结果

最后根据手算的步骤实现了下面这个版本，其中单位根的复指数计算就直接手动计算完存表表了，在实现后发现只能够适用 4 个数的输入

import cmath

table = [1+0j,2+0j,3+0j,4+0j]
rotate_table = [1+0j,0-1j,-1+0j,0+1j]
result = []

N = 4
k = 0
r = 0
tmp = 0
while k < len(table):
    while r < len(table)/2