将算法复杂度一步步进化到O(n)的最大子序列和的方法合集

通过浙江大学老师的数据结构课，记录课堂程序改进算法的过程。

题目描述：

给定N个整数序列{A1.....AN}，求最大子序列和，当最大子序列为负数时返回0；

示例：

input：

3........N

1 2 3

output：

6

方法一：

暴力解法，算法复杂度为O(n3)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int MaxSubseqSum(vector<int> vec,int N)
{
	int ThisSum,MaxSum=0;
	int i,j,k;
	for (int i = 0; i < N; ++i){
		for (int j = i; j < N; ++j){
			ThisSum=0;
			for (int k = i; k <= j; ++k)
				ThisSum+=vec[k];//计算i,j到项的和
			if (ThisSum>MaxSum)
				MaxSum=ThisSum;		
		}
	}
	return MaxSum;
}



int main()
{
	int num,N;
	cin>>N;
	vector<int> vec;
	while(cin>>num)
		vec.push_back(num);
	if (MaxSubseqSum(vec,N)<0)
	{
		return 0;
	}
	else
	cout<<MaxSubseqSum(vec,N)<<endl;
    return 0;
}

可见此方法算法复杂度很恐怖，需要优化，面对大的输入时，程序很可能出错；

通过分析可以再计算i加到j的元素的时候，k循环实现的是i加到j，当知道i加到j的值的时候直接将下一个元素加到后面就是下一次i到j+1循环的值,没有必要从头往后加。

方法二:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int MaxSubseqSum(vector<int> vec,int N)
{
	int ThisSum,MaxSum=0;
	int i,j,k;
	for (int i = 0; i < N; ++i){
		ThisSum=0;
		for (int j = i; j < N; ++j){
			ThisSum+=vec[j];//对于相同的i,不同的j，只要在j-1的结果上直接加上当前项即可
			if (ThisSum>MaxSum)
				MaxSum=ThisSum;
		}
	}
	return MaxSum;
}



int main()
{
	int num,N;
	cin>>N;
	vector<int> vec;
	while(cin>>num)
		vec.push_back(num);
	if (MaxSubseqSum(vec,N)<0)
	{
		return 0;
	}
	else
	cout<<MaxSubseqSum(vec,N)<<endl;
	
    return 0;
}

这时算法的复杂度降低到O(n2)，课程中提道当专业的程序员看到算法为O(n2)时本能反应是将算法的复杂度提升到O(nlogn),所以应而产生方法三，

分而治之：

1.划分问题：把序列划分成元素尽量相等的两半；

2.治之问题：分别求出完全位于左半或者完全位于右半的最佳序列；

3.合并问题：求出起点为左半，终点为右半的最大连续和序列，并比较最优解；

方法三：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int max3(int a, int b, int c){
    if(a > b)
        return a > c ? a : c;
    else
        return b > c ? b : c;
}

int maxSubArray(vector<int> nums, int left, int right){
    int maxLeftSum, maxRightSum;
    int maxLeftBorderSum, maxRightBorderSum;
    int leftBorderSum, rightBorderSum;

    if(left == right)
        if(nums[left] > 0)
            return nums[left];
        else
            return 0;

    int mid = (left + right) / 2, i;
    maxLeftSum = maxSubArray(nums, left, mid);
    maxRightSum = maxSubArray(nums, mid + 1, right);

    maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
    for(i = mid; i >= left; i--){
        leftBorderSum += nums[i];
        if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum)
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
    }

    maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
    for(i = mid + 1; i <= right; i++){
        rightBorderSum += nums[i];
        if(rightBorderSum > maxRightBorderSum)
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
    }

    return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);
}

int maxSubArrayAns(vector<int> nums,int MAX_N){
    return maxSubArray(nums, 0, MAX_N - 1);
}

int main(){
	int N,tmp;
	cin>>N;
	vector<int> nums;
	while(cin>>tmp)
	{
		nums.push_back(tmp);
	}

    cout<<maxSubArrayAns(nums,N)<<endl;
    return 0;
}

程序二：

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}
 
int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/
 
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;
 
    if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }
 
    /* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
 
    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */
 
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */
 
    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
 
int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

如果数据量为N,①与数据两无关,时间为常数;③为数据处理部分,时间为O(N);②为递归部分,每一层的该处时间消耗总与上一层有关,并有T(N)=T(N/2)+O(N)的关系.

最后计算得复杂度T(N)=O(NlogN).

还有更快的吗？

有。。

在线处理方法也叫即时处理方法，线性处理方法，一个一个读入元素总结当前的最大子序列和，当出现负数的时候，直接抛弃因为负数只会影响整体的最大和。这就是读一遍出结果的方法：

方法四：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int maxSubArrayAns(vector<int> nums,int N)
{
	int ThisSum,MaxSum;
	ThisSum=MaxSum=0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum+=nums[i];
	if (ThisSum>MaxSum) MaxSum=ThisSum;
	
	else if(ThisSum<0) ThisSum=0;
	
	}
	return MaxSum;


}

int main(){
	int N,tmp;
	cin>>N;
	vector<int> nums;
	while(cin>>tmp)
	{
		nums.push_back(tmp);
	}

    cout<<maxSubArrayAns(nums,N)<<endl;
    return 0;
}

通过之前学习的算法复杂度的计算可知if循环的复杂度是常数级别的，for循环遍历一次得到的复杂度就是T(n)=C*O(n)，最终算法复杂度到达O(n).