图像处理与模式识别作业二：快速傅立叶变换FFT与离散余弦变换DCT

二维快速傅立叶变换

算法原理

长度为N的有限序列x(n)的DFT为

$$X(n)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}，其中W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\Pi}{N}nk}$$
其逆变换IDFT为
$$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}X(n)W_N^{-nk}$$
由公式可知，正逆变换的运算量是相同的，计算序列X(n)的时间复杂度为O(N^2)，这样的计算量太庞大，计算速度太慢了，因此我们要利用DFT的一些系数特性来简化计算。

特性如下：
1. 共轭对称性：$(W_N^{nk})^*=(W_N^{-nk})$
2. 周期性：$W_N^{nk}=W_{N}^{(n+N)k}=W_N^{n(k+N)}$
3. 可约性：$W_N^{nk}=W_N^{nmk}=W_{N/m}^{nk/m}$
得出：

$$W_N^{n(N-k)}=W_N^{(N-n)k}=W_N^{-nk}$$

W<