整数与浮点数的表示

有符号整数

首先约定数的真值：一个$n$位的二进制数$a=(\pm) x_{n-1}x_{n-2}...x_0$，如果不使用符号，则默认认为是正数。真值没有符号位。

三种编码方式

• 原码（符号与幅值，sign and magnitude）
  一个$n$位的二进制原码表示的数，第1位是符号位，后面$n-1$位是数的绝对值。原码的缺点在于有两个$0$：符号位分别为$1$和$0$，其他位均为$0$时。
• 反码（one’s complement）
  反码是作为原码和补码之间的一种过渡。在反码表示法中，一个数的相反数就是将其每一位取反。因此第一位也是符号位。正数的反码与其原码相同，负数的反码的符号位为$1$（负号），其余的位将真值的每一位取反。
• 补码
  补码是硬件使用的编码。对于正数，补码与其原码相同；负数的补码，是其反码的最低位再加上一。
  虽然$n$位有符号整数的补码真值使用公式$x_补=-2^{n-1}x_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}2^ix_i$计算，但是同样满足最高位$x_{n-1}$确定符号。
  对于使用补码的有符号整数，其取值范围是$x\in[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$

符号扩展（sign extension）

• 对于一个有限位数的有符号整数的补码表示，以复制符号位的方式将其扩展到更高的位数，叫做符号扩展。比如将$2_{10}$的16位补码表示
  0000,0000,0000,0010
  进行符号扩展：（符号位为0进行复制）
  0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0010
  又比如将$-2_{10}$的16位补码表示
  1111,1111,1111,1110
  进行符号扩展：（符号位为1进行复制）
  1111,1111,1111,1111,1111,1111,1111,1110

注意

• 注意区分由原码、反码计算补码(p.21)和由补码计算其相反数的补码(p.28)
  由原码计算补码，要区分正负号；正数的补码和原码相同；负数的补码，先将原码的非符号位全部按位取反得到反码，然后再加1得到补码；
  对一个数的补码计算其相反数的补码，只需要对其所有位按位取反，然后再加上1就可以了。

无符号整数

无符号整数不包含符号位，所有的位数直接按照二进制表示存储真值。
$n$位无符号整数的取值范围$x\in[0,2^{n}-1]$

浮点数（IEEE754标准）

IEEE754标准的浮点数按照三部分构成$S|E|M$
在规格化表示时其真值为$x=(-1)^S(1+M)·2^{E-127}$
以32位浮点数(C语言中的float类型)为例：
第1位为符号位$S$，0代表正数，1代表负数；
第2~9位（共8位）为阶码（指数部分）。在IEEE754标准中，阶码按照移码的方式存储，$E=e+127$，其中$e$是真实的指数。阶码的存储范围是$0<E<255$(开区间，$E=0,255$有特殊含义)因此实际指数范围$-126<e<127$，决定了32位浮点数的取值范围$2^{-127-1}<\pm x<2^{127+1}\approx3.4×10^{38}$(其中尾数的特殊情况$M=1.1111...\approx2$)
剩余23位为尾数$M$，决定了32位浮点数的有效数字（精度）为$\lg2^{23}\approx6$位。

浮点数不能简单使用==判等。

指数	尾数	意义
0	0	0
0	非0	正负规格化数
1~254	-	正负浮点数
255	0	正负无穷
255	非0	Not a Number