20、其他复杂度类的完全问题

其他复杂度类的完全问题

1. 多项式层次结构相关

在复杂度理论中，多项式层次结构是一个重要的概念。对于所有 $k \geq 1$，$B_k$ 是 $\Sigma^P_k$ 的 $\leq^P_m$-完全问题。即对于每个 $k \geq 1$ 以及 $L \in \Sigma^P_k$，存在一个多项式时间可计算的函数 $(\lambda w)\rho_L(|w|,w)$ 作为从 $L$ 到 $B_k$ 的 $\leq^P_m$-归约。

虽然多项式层次结构最早由 Stockmeyer 定义和研究，但 Karp 也有相关的前瞻性工作。证明 $K_n$ 是 $\Sigma^P_n$ 的 $\leq^P_m$-完全问题是可计算性理论中标准技术的直接应用。此外，已知 $\Delta^P_2$ 和 $\Sigma^P_2$ 存在自然的完全问题，但对于多项式层次结构的更高层次，目前还未找到自然的完全问题。

2. PSPACE 复杂度类

2.1 PSPACE 的有效表示

PSPACE 是可以有效表示的。设 $DM_i$ 是第 $i$ 个确定性图灵机，$M_j$ 是一个能完全构造空间 $p_j(n) = n^j + j$ 的确定性图灵机。定义 $PS_k$（其中 $k = \langle i, j \rangle$）为一个单带确定性图灵机，其工作方式如下：
1. 对于长度为 $n$ 的输入字 $x$，$PS_k$ 首先模拟 $M_j$，在工作带上标记 $p_j(n)$ 个单元。
2. 然后，$PS_k$ 开始对 $DM_i$ 进行多轨单带模拟。
3. 如果 $DM_i$ 试图离开标记区域，$PS_k$ 停止并拒绝输入；如果