18、计算复杂性中的相对可计算性与NP结构探究

计算复杂性中的相对可计算性与NP结构探究

1. 相对可计算性相关基础

在计算复杂性理论中，相对可计算性是一个重要的概念。我们首先关注到关于集合的归约问题。对于集合 $A$ 和 $B$，存在不同类型的归约方式，如多项式时间图灵归约（$\leq_{P}^{T}$）和多项式时间多一归约（$\leq_{P}^{m}$）。

在构造集合 $B$ 时，设 $m = 1 + \max{n,|f_i(x)|}$，并以与条件 7.1 一致的方式将 $B$ 的定义扩展到所有长度小于 $m$ 的单词。这样的构造确保了 $A \leq_{P}^{T} B$ 且 $A \not\leq_{P}^{m} B$。

步骤 1 总能找到一个字符串 $x$，否则 $A$ 可以在多项式时间内多一归约到有限集 $B(n)$，这将意味着 $A \in P$。步骤 2 和 3 能够执行，因为字符串 $za$ 的成员资格的判定是明确的。在每一个阶段，$B$ 的定义都在 $\Sigma^*$ 的一个更大的初始段上进行，所以最终 $B$ 对于每一个有限长度的字符串都有定义。并且，由于归纳定义给出了一个确定 $B$ 成员资格的有效过程，所以 $B$ 是一个可判定集合。

对于 $\leq_{P}^{T}$ - 完全的 NP 集合，有如下定理：如果 $A$ 是 $\leq_{P}^{T}$ - 完全的 NP 集合，那么 $A \in P$ 当且仅当 $P = NP$。不过，目前还不清楚是否存在 $\leq_{P}^{T}$ - 完全的 NP 集合但不是 $\leq_{P}^{m}$ - 完全的 NP 集合。同时，是否存在 NP 中的集合 $A$ 和 $B$ 使得 $A \leq_{P}^{T} B$ 但 $A \no