17、自由泊松元素与自由加权 - 泊松元素的深入探讨

自由泊松元素与自由加权 - 泊松元素的深入探讨

在概率空间中，自由泊松元素和自由加权 - 泊松元素有着独特的性质和重要的应用价值。下面将详细介绍它们的相关概念、性质以及不同情况下的分布特征。

自由泊松元素的基本概念与性质

在一个半圆环过滤化结构 (LQ) 中，设 (S) 是自由半圆环族，(X) 是自由加权 - 半圆环族。对于任意 (k \neq j) ，可以定义相应的自由泊松元素。

设 (U_j \in S) 是半圆环元素，(u_k \in X) 是 (\psi(q_j)^2) - 半圆环元素，定义自由泊松元素 (Y_{k,N}^j = U_j u_N^k U_j) 。这里 (u_k = \psi(q_k)U_k) ，所以 (Y_{k,N}^j = \psi(q_k)^N U_j U_N^k U_j = \psi(q_k)^N W_{k,N}^j) ，其中 (W_{k,N}^j) 是另一个自由泊松元素。

对于自由泊松元素 (Y_{k,N}^j) ，有以下重要性质：
- 自由累积量 (k_n(Y_{k,N}^j, \cdots, Y_{k,N}^j) = \omega_n N \psi(q_k)^{nN} c_{nN}^2) 。
- 矩 ( \tau_0((Y_{k,N}^j)^n) =
\begin{cases}
\psi(q_k)^{nN} \sum_{\pi \in NC(\hat{n})} \prod_{B \in \theta} c_{N|B|}^2, & \text{如果 } N \text{ 是偶数} \
\omega_n \psi(q_k)^{nN} \sum_{\theta \in NC