JavaScript实现二分查找及其应用
本文详细介绍了如何使用JavaScript实现二分查找算法，并通过多个示例，如寻找两个正序数组的中位数、寻找峰值、二分查找、搜索二维矩阵等，展示了二分查找在不同场景的应用。文章强调了算法的时间复杂度要求为O(log n)，并提供了相应的代码实现。
二分搜索
时间复杂度O(logn)
步骤：
- 从数组中间的元素开始，如果中间的元素正好是目标值，搜索结束
- 如果目标值大于或小于中间的元素，则在大于或小于中间的元素的那一半继续搜索
代码模版
//二分查找伪代码模版
while (left <= right) {
mid = (left + right) / 2;
if (array[mid] === target) return result;
else if (array[mid] < target) left = mid + 1;
else right = mid - 1;
}
4. 寻找两个正序数组的中位数 (hard)
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。
示例 1：
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例 2：输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5提示：
nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106
方法1.二分查找
- 思路：数组合并之后在排序的复杂度是
O((m+n) log(m+n))不符合题意，题目要求的是O(log (m+n))，我们一看到logn的复杂度就联想到了二分。二分长度较小的数组，找到这个数组二分的位置，在根据这个二分的位置和两个数组的总长度找到另一个数组二分的位置，比较这两个位置的四个数是否满足交叉小于等于，不满足继续二分，满足就找到了解 - 复杂度：时间复杂度
O(log( min(m，n)) )，m、n分别是nums1和nums2的长度。每次二分循环的长度都会少一半，只要二分比较短的数组即可。空间复杂度O(1)
Js:
var findMedianSortedArrays = (nums1, nums2) => {
let len1 = nums1.length, len2 = nums2.length
if (len1 > len2) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1)//对nums1和nums2中长度较小的二分
let len = len1 + len2//总长
let start = 0, end = len1 //进行二分的开始和结束位置
let partLen1, partLen2
while (start <= end) {
partLen1 = (start + end) >> 1//nums1二分的位置
partLen2 = ((len + 1) >> 1) - partLen1//nums2二分的位置
//L1:nums1二分之后左边的位置，L2，nums1二分之后右边的位置
//R1:nums2二分之后左边的位置，R2，nums2二分之后右边的位置
//如果左边没字符了，就定义成-Infinity，让所有数都大于它，否则就是nums1二分的位置左边一个
let L1 = partLen1 === 0 ? -Infinity : nums1[partLen1 - 1]
//如果左边没字符了，就定义成-Infinity，让所有数都大于它，否则就是nums2二分的位置左边一个
let L2 = partLen2 === 0 ? -Infinity : nums2[partLen2 - 1]
//如果右边没字符了，就定义成Infinity，让所有数都小于它，否则就是nums1二分的位置
let R1 = partLen1 === len1 ? Infinity : nums1[partLen1]
//如果右边没字符了，就定义成Infinity，让所有数都小于它，否则就是nums1二分的位置
let R2 = partLen2 === len2 ? Infinity : nums2[partLen2]
if (L1 > R2) {//不符合交叉小于等于 继续二分
end = partLen1 - 1
} else if (L2 > R1) {//不符合交叉小于等于 继续二分
start = partLen1 + 1
} else { // L1 <= R2 && L2 <= R1 符合交叉小于等于
return len % 2 === 0 ?
(Math.max(L1, L2) + Math.min(R1, R2)) / 2 : //长度为偶数返回作左侧较大者和右边较小者和的一半
Math.max(L1, L2) //长度为奇数返回作左侧较大者
}
}
}
162. 寻找峰值（medium）
峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。
给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。
你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。
你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。
示例 2：输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。提示：
1 <= nums.length <= 1000
-231 <= nums[i] <= 231 - 1
对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]
- 思路：题意
nums[-1]、nums[n]都是-∞。所以数组中只要存在两个相邻元素是递增的，那沿着它一定可以找到峰值 - 复杂度：时间复杂度
O(logn)，空间复杂度O(1)
js：
const findPeakElement = nums => {
let [left, right] = [0, nums.length - 1];
while (left < right) {
const mid = left + ((right - left) >> 1);//不断二分 寻找上升元素对
if (nums[mid] > nums[mid + 1]) {
right = mid;//下降
} else {
left = mid + 1;//上升
}
}
return left;
};
704. 二分查找 （easy）
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。
方法1:递归
- 思路：先找到中间位置，判断是否是需要寻找的目标值，如果是就返回，不是的话判断目标值和中间元素的大小，然后继续向左右子树递归寻找
- 复杂度：时间复杂度
O(logn)，空间复杂度O(logn)，递归栈大小
js：
var search = function (nums, target) {
return search_interval(nums, target, 0, nums.length - 1)
};
function search_interval(nums, target, left, right) {
if (left > right) {
return -1
}
let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
if (nums[mid] === target) {//判断目标值和中间元素的大小
return mid
} else if (nums[mid] < target) {//递归寻找目标元素
return search_interval(nums, target, mid + 1, right)
} else {
return search_interval(nums, target, left, mid - 1)
}
}
方法2:非递归
- 思路：定义
left、right指针，比较目标元素和中间元素的大小，然后不断缩小左右指针的范围继续寻找目标元素 - 复杂度：时间复杂度
O(logn)，空间复杂度O(1)
js：
var search = function (nums, target) {
let left = 0,
right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
let mid = Math.floor((left + right) / 2);
if (nums[mid] === target) {
return mid;
} else if (target < nums[mid]) {//比较目标和中间元素的大小，然后不断缩小left和rihgt指针的范围
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return -1;
};
74. 搜索二维矩阵 （medium）
编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：
每行中的整数从左到右按升序排列。
每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。示例 1：
输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3
输出：true
示例 2：输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13
输出：false提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 100
-104 <= matrix[i][j], target <= 104
- 思路:矩阵从左到右 从上到下满足递增的性质，所以可以把二维数组看成一个一维递增的数组，然后进行二分查找，只需要将一位坐标转换成二维坐标。
- 复杂度:时间复杂度
O(log(mn))，m，n是矩阵的行和列。空间内复杂度O(1)
js：
var searchMatrix = function(matrix, target) {
const m = matrix.length, n = matrix[0].length;
let low = 0, high = m * n - 1;
while (low <= high) {
const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
const x = matrix[Math.floor(mid / n)][mid % n];//一维坐标转换成二维坐标
if (x < target) {
low = mid + 1;
} else if (x > target) {
high = mid - 1;
} else {
return true;
}
}
return false;
};
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 （medium）
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
示例 2：输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
示例 3：输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]提示：
0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109
方法1:先二分，在寻找左右边界
- 思路：二分查找，然后向左和向右尝试找相同的元素
- 复杂度：时间复杂度O(n)，空间复杂度
O(1)
js：
//nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
var searchRange = function(nums, target) {
let left = 0, right = nums.length - 1, mid;
while (left <= right) {//二分查找target
mid = (left + right) >> 1;
if (nums[mid] === target) break;
if (nums[mid] > target) right = mid - 1;
else left = mid + 1;
}
if(left > right) return [-1, -1];
let i = mid, j = mid;
while(nums[i] === nums[i - 1]) i--;//向左尝试找相同的元素
while(nums[j] === nums[j + 1]) j++;//向右尝试找相同的元素
return [i, j];
};
方法2：改造二分法
- 思路：改造二分，寻找目标值的开始和结束位置
- 复杂度：时间复杂度O(logn)，空间复杂度
O(1)
js：
//nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
const binarySearch = (nums, target, lower) => {
let left = 0, right = nums.length - 1, ans = nums.length;
while (left <= right) {
const mid = Math.floor((left + right) / 2);
if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {
right = mid - 1;
ans = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return ans;
}
var searchRange = function(nums, target) {
let ans = [-1, -1];
const leftIdx = binarySearch(nums, target, true);
const rightIdx = binarySearch(nums, target, false) - 1;
if (leftIdx <= rightIdx && rightIdx < nums.length && nums[leftIdx] === target && nums[rightIdx] === target) {
ans = [leftIdx, rightIdx];
}
return ans;
};
35. 搜索插入位置 (easy)
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
示例 2:输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
示例 3:输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4提示:
1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
-104 <= target <= 104
时间复杂度O(logn)，空间复杂度O(1)
js:
var searchInsert = function(nums, target) {
const n = nums.length;
let left = 0, right = n - 1, ans = n;
while (left <= right) {
let mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (target <= nums[mid]) {
ans = mid;
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return ans;
};
374. 猜数字大小 (easy)
猜数字游戏的规则如下：
每轮游戏，我都会从 1 到 n 随机选择一个数字。 请你猜选出的是哪个数字。
如果你猜错了，我会告诉你，你猜测的数字比我选出的数字是大了还是小了。
你可以通过调用一个预先定义好的接口 int guess(int num) 来获取猜测结果，返回值一共有 3 种可能的情况（-1，1 或 0）：-1：我选出的数字比你猜的数字小 pick < num
1：我选出的数字比你猜的数字大 pick > num
0：我选出的数字和你猜的数字一样。恭喜！你猜对了！pick == num
返回我选出的数字。示例 1：
输入：n = 10, pick = 6
输出：6
示例 2：输入：n = 1, pick = 1
输出：1
示例 3：输入：n = 2, pick = 1
输出：1
示例 4：输入：n = 2, pick = 2
输出：2提示：
1 <= n <= 231 - 1
1 <= pick <= n
- 复杂度：时间复杂度
O(logn)。空间复杂度O(1)
js:
var guessNumber = function(n) {
let left = 1, right = n;
while (left < right) {
const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
if (guess(mid) <= 0) {
right = mid; //更新查找区间为[left, mid]
} else {
left = mid + 1; //更新查找区间为[mid+1, right]
}
}
//left == right为答案
return left;
};
300. 最长递增子序列 (medium)
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104进阶：
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
方法1.动态规划
-
思路：
dp[i]表示选择nums[i]，并且以nums[i]结尾的最长上升子序列的长度。两层循环，i：1～nums.length，j：0～i，如果nums[i] > nums[j]，则构成一个上升对，dp[i]就从dp[i],dp[j]+1两个种选择较大者，最后返回dp数组总的最大数 -
复杂度分析：时间复杂度
O(n^2)，n是nums的长度，外层需要循环n次，dp[i]需要从dp[0~i-1],所以复杂度是O(n^2)。空间复杂度是O(n)，即dp数组的空间
js:
const lengthOfLIS = (nums) => {
let dp = Array(nums.length).fill(1);
let result = 1;
for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
for(let j = 0; j < i; j++) {
if(nums[i] > nums[j]) {//当nums[i] > nums[j]，则构成一个上升对
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);//更新dp[i]
}
}
result = Math.max(result, dp[i]);//更新结果
}
return result;
};
方法2.二分查找+贪心
- 思路：准备tail数组存放最长上升子序列，核心思想就是越小的数字越要往前放，这样后面就会有更多的数字可以加入tails数组。将nums中的数不断加入tail，当nums中的元素比tail中的最后一个大时 可以放心push进tail，否则进行二分查找，让比较小的数二分查找到合适的位置，让后面有更多的数字与这个数形成上升子序列
- 复杂度：时间复杂度
O(nlogn)，n为nums的长度，每次二分查找需要logn，所以是总体的复杂度是O(nlogn)。空间复杂度是O(n),tail数组的开销
js:
var lengthOfLIS = function (nums) {
let n = nums.length;
if (n <= 1) {
return n;
}
let tail = [nums[0]];//存放最长上升子序列数组
for (let i = 0; i < n; i++) {
if (nums[i] > tail[tail.length - 1]) {//当nums中的元素比tail中的最后一个大时 可以放心push进tail
tail.push(nums[i]);
} else {//否则进行二分查找
let left = 0;
let right = tail.length - 1;
while (left < right) {
let mid = (left + right) >> 1;
if (tail[mid] < nums[i]) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
tail[left] = nums[i];//将nums[i]放置到合适的位置，此时前面的元素都比nums[i]小
}
}
return tail.length;
};
69. Sqrt(x)（easy）
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例 1：
输入：x = 4
输出：2
示例 2：输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。提示：
0 <= x <= 231 - 1
方法1:二分法
- 思路：从0-x不断二分，直到
- 复杂度分析：时间复杂度
O(logx)，即为二分查找需要的次数。空间复杂度O(1)
js:
var mySqrt = function (x) {
let left = 0
let right = x
while (left <= right) {
let mid = left + ((right - left) >> 1)//中间位置索引 x>>1 表示除以2并取整，缩小一下遍历的范围
if (mid * mid <= x) {
left = mid + 1
} else {
right = mid - 1
}
}
return right
};
方法2:牛顿迭代
- 思路：
r = ( r + x / r ) / 2 - 复杂度分析：时间复杂度
O(logx)。空间复杂度O(1)
js:
var mySqrt = function(x) {
let r = x
while (r ** 2 > x) r = ((r + x / r) / 2) | 0//取整
return r
};
153. 寻找旋转排序数组中的最小值 (medium)
已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：
若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]
注意，数组 [a[0], a[1], a[2], …, a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], …, a[n-2]] 。给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。
你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。
示例 2：输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。
示例 3：输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。提示：
n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数 互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转
- 思路：low和high指针不断向中间移动，不断二分，当前节点比high节点的值小，让high等于pivot，当前节点比大于等于high节点的时候，让low等于pivot+1，最后相遇的节点就是最小值
- 复杂度：时间复杂度
O(logn)。空间复杂度O(1)
js：
var findMin = function(nums) {
let low = 0;
let high = nums.length - 1;
while (low < high) {
const pivot = low + Math.floor((high - low) / 2);//中间节点
if (nums[pivot] < nums[high]) {//当前节点比high节点的值小，让high等于pivot
high = pivot;
} else {
low = pivot + 1;//当前节点比大于等于high节点的时候，让low等于pivot+1
}
}
return nums[low];//最后相遇的节点就是最小值
};
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