CodeVS3785 项链

最新推荐文章于 2022-04-08 20:41:05 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-08 20:41:05 发布 · 425 阅读

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本文介绍了一种通过已知边界条件及增量关系求解未知数列的算法。针对特定数列E，给定E[1]、E[n]及D[2]至D[n-1]，采用方程思想逐步推导并求解出E[2]至E[n-1]的具体数值。

http://codevs.cn/problem/3785/

题意：有一个数列E[1]…E[n]，当1<i<n时，有E[i]=(E[i-1]+E[i+1])/2+D[i]。

现给定E[1]，E[n]以及D[2]…D[n-1]，求出完整的E数列。n<=500,000。

由于中间的E[2]…E[n-1]未知，当n>3时没有任何某两个下标差为1或2的已知E值，因此无法直接计算。

我们可以用方程的思想来解决，设E[2]=x，这样联系E[1]和D[2]就可以用x表示出E[3]，并且不断利用D表示出E的每一项。

于是我们可以得到一个E[n]=f(x)的方程，并且容易发现这个方程是一次的，直接求解，然后依次返回代入或直接根据相邻项递推即可。

进一步发现，在E[n]=f(x)=kx+b中，k一定等于n-1，这点可以用归纳法证明，因而我们也不用存k了。

程序写起来其实只有十余行，但是具体算法还是有一定思维难度的。

代码：

var
  e,d,b:array[0..500020]of double;
  n,i,l,r,m:longint;
begin
  readln(n,e[1],e[n]);
  for i:=2 to n-1 do read(d[i]);
  b[2]:=0;
  b[3]:=(b[2]-d[2])*2-e[1];
  for i:=4 to n do
    b[i]:=(b[i-1]-d[i-1])*2-b[i-2];
  e[2]:=(e[n]-b[n])/(n-1);
  for i:=3 to n do
    e[i]:=(e[i-1]-d[i-1])*2-e[i-2];
  for i:=1 to n do
    write(e[i]:0:0,' ');
end.