bzoj2839 集合计数容斥

最新推荐文章于 2021-09-12 00:50:41 发布

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容斥原理

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二项式反演

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博客围绕有N个元素的集合展开，要从其2N个子集中取若干集合，使交集元素个数为K，求方案数并对1000000007取模。通过容斥原理，设g[k]和f[k]，经推导得出fk的表达式，可O(n)求恰好k的答案。

Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Solution

这个容斥就很简单了
考虑设g[k]表示至少k个相同的答案，f[k]表示恰好k个相同的答案
显然有 $gk=∑i=kn(ik)fkg_k=\sum\limits_{i=k}^{n}{\binom{i}{k}f_k}$
考虑g[]的含义，不难得到 $gk=(nk)⋅(22n−k−1)g_k=\binom{n}{k}\cdot\left(2^{2^{n-k}}-1\right)$
然后有一个神奇的变换就是 $fk=∑i=kn(−1)i−k(ik)gkf_k=\sum\limits_{i=k}^n{{(-1)}^{i-k}\binom{i}{k}g_k}$
这是一个反演，证明的话带入一下就可以了。。
于是我们就可以 $O (n)$ 求恰好k的答案了

没有交，本地拍了一下似乎没毛病

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000007;
const int N=200005;

LL fac[N],inv[N],f[N],g[N];

LL C(int n,int m) {
	return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}

LL ksm(LL x,LL dep,int MOD) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
		x=x*x%MOD;
	}
	return res;
}

int main(void) {
	freopen("data.in","r",stdin);
	freopen("myp.out","w",stdout);
	fac[0]=fac[1]=1; rep(i,2,N-1) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	inv[0]=inv[1]=1; rep(i,2,N-1) inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
	rep(i,2,N-1) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%MOD;
	int n,k; scanf("%d%d",&n,&k);
	rep(i,1,n) g[i]=C(n,i)*(ksm(2,ksm(2,n-i,MOD-1),MOD)-1)%MOD;
	rep(j,k,n) {
		LL tmp=C(j,k)*g[j]%MOD;
		if ((j-k)&1) f[k]=(f[k]+MOD-tmp)%MOD;
		else f[k]=(f[k]+tmp)%MOD;
	}
	printf("%lld", f[k]);
	return 0;
}