自适应辛普森积分学习小记

最新推荐文章于 2021-11-17 14:34:21 发布

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本文深入探讨了积分计算的三种核心方法：极限求和法、原函数法及辛普森近似法。通过数学公式详细解释了每种方法的原理与应用，特别强调了辛普森积分的自适应实现，为解决复杂积分问题提供了实用指导。

BG

今天没题做，来康点好康的

正题

我们要求 $∫abf(x)dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
方法一：
$∫abf(x)dx=lim⁡n→+∞∑i=1nf(a+in)⋅1n\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim\limits_{n\to +\infty}^{}\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{i}{n})\cdot \frac{1}{n}$
方法二：
$∫abf(x)dx=F(b)−F(a)， 满足F′(x)=f(x)\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)，\; 满足F'(x)=f(x)$

以上是中学课本内容

方法三：
辛普森积分只能用来算有限精度的实数
我们用二次函数拟合某一个函数 $f (x)$ ，即令 $f(x)≈Ax2+Bx+Cf(x)\approx Ax^2+Bx+C$
那么： $∫abf(x)dx≈∫ab(Ax2+Bx+C)dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx\int_{a}^{b}{(Ax^2+Bx+C)dx}$
又有 $∫ab(Ax2+Bx+C)dx=A3(b3−a3)+B2(b2−a2)+C(b−a)\int_{a}^{b}{(Ax^2+Bx+C)dx}=\frac{A}{3}(b^3-a^3)+\frac{B}{2}(b^2-a^2)+C(b-a)$
化简得到 $原式=(b−a)(2Ab2+2Aab+2Aa2+3Bb+3+6C)6=(b−a)(f(a)+f(b)+4f(a+b2))6原式=\frac{(b-a)(2Ab^2+2Aab+2Aa^2+3Bb+3+6C)}{6}=\frac{(b-a)(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2}))}{6}$

所谓自适应就是加入判断精度的流程使得结果更加合理

我们发现这个东西的精度和 $b - a$ 有关，那么递归做就可以了
具体说来就是f(a,b)表示a到b的积分，f(a,b)=f(a,mid)+f(mid,b)这样递归
精度的话我们用辛普森积分算出(a,mid)和(mid,b)，与(a,b)比较，如果相差在允许范围内退出就行了

Code

double solve(double l,double r) {
	double mid=(l+r)*0.5;
	if (f(l,mid)+f(mid,r)-f(l,r)<eps) return f(l,r);
	return solve(l,mid)+solve(mid,r);
}