bzoj3576 [Hnoi2014]江南乐

本文探讨了一个有趣的博弈问题,涉及多个石堆的游戏过程,通过巧妙地运用SG函数求解获胜策略。文章分析了如何将石子分成若干堆,并通过数学方法确定不同堆的贡献,进而找出胜者。

Description


有n堆石子,每堆石子数量不超过100000。两个玩家轮流操作,每次可以把数量>=F的堆分成m份(m>=2),且m份中最多和最少的两份相差不超过1
两人绝顶聪明,无法操作的人输,求谁会赢

Solution


非常有意思的sg函数题
设我们有石子数量为n,现在要分成m份
那么只有两种堆,一种数量为nm⌊nm⌋,另一种为nm+1⌊nm⌋+1
其中第二种堆有nnmm=n%mn−⌊nm⌋m=n%m个,一共有mm个,第一种就有mn%m
求sg函数时偶数个的异或会消去贡献,那么我们只需要判断一下奇偶性来求贡献就ok
看到这个熟悉的下取整说明可以分块跳着做,不过这里需要多判断一步奇偶性
就酱

Code


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)
#define fill(x,t) memset(x,t,sizeof(x))

const int N=100055;

int sg[N],rec[N],f;

int read() {
    int x=0,v=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
    for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
    return x*v;
}

int get_sg(int n) {
    if (~sg[n]) return sg[n];
    if (n<f) return sg[n]=0;
    int sum;
    for (int m=2,k;m<=n;m=k+1) {
        k=n/(n/m);
        rep(j,m,std:: min(m+1,k)) {
            sum=0;
            if ((j-n%j)&1) sum^=get_sg(n/j);
            if ((n%j)&1) sum^=get_sg(n/j+1);
            rec[sum]=n;
        }
    }
    for (sg[n]=0;rec[sg[n]]==n;sg[n]++);
    return sg[n];
}

int main(void) {
    fill(sg,-1);
    int T=read(); f=read();
    while (T--) {
        int sum=0;
        for (int n=read();n;n--) sum^=get_sg(read());
        if (sum) putchar('1');
        else putchar('0');
        if (T) putchar(' ');
    }
    return 0;
}
内容概要:本文系统介绍了算术优化算法(AOA)的基本原理、核心思想及Python实现方法,并通过图像分割的实际案例展示了其应用价值。AOA是一种基于种群的元启发式算法,其核心思想来源于四则运算,利用乘除运算进行全局勘探,加减运算进行局部开发,通过数学优化器加速函数(MOA)和数学优化概率(MOP)动态控制搜索过程,在全局探索与局部开发之间实现平衡。文章详细解析了算法的初始化、勘探与开发阶段的更新策略,并提供了完整的Python代码实现,结合Rastrigin函数进行测试验证。进一步地,以Flask框架搭建前后端分离系统,将AOA应用于图像分割任务,展示了其在实际工程中的可行性与高效性。最后,通过收敛速度、寻优精度等指标评估算法性能,并提出自适应参数调整、模型优化和并行计算等改进策略。; 适合人群:具备一定Python编程基础和优化算法基础知识的高校学生、科研人员及工程技术人员,尤其适合从事人工智能、图像处理、智能优化等领域的从业者;; 使用场景及目标:①理解元启发式算法的设计思想与实现机制;②掌握AOA在函数优化、图像分割等实际问题中的建模与求解方法;③学习如何将优化算法集成到Web系统中实现工程化应用;④为算法性能评估与改进提供实践参考; 阅读建议:建议读者结合代码逐行调试,深入理解算法流程中MOA与MOP的作用机制,尝试在不同测试函数上运行算法以观察性能差异,并可进一步扩展图像分割模块,引入更复杂的预处理或后处理技术以提升分割效果。
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