bzoj3576 [Hnoi2014]江南乐

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sg函数

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本文探讨了一个有趣的博弈问题，涉及多个石堆的游戏过程，通过巧妙地运用SG函数求解获胜策略。文章分析了如何将石子分成若干堆，并通过数学方法确定不同堆的贡献，进而找出胜者。

Description

有n堆石子，每堆石子数量不超过100000。两个玩家轮流操作，每次可以把数量>=F的堆分成m份(m>=2)，且m份中最多和最少的两份相差不超过1
两人绝顶聪明，无法操作的人输，求谁会赢

Solution

非常有意思的sg函数题
设我们有石子数量为n，现在要分成m份
那么只有两种堆，一种数量为 $\lfloor\frac{n}{m}\rfloor$ ，另一种为 $\lfloor\frac{n}{m}\rfloor+1$
其中第二种堆有 $n-\lfloor\frac{n}{m}\rfloor m=n\%m$ 个，一共有 $m$ 个，第一种就有 $m-n\%m$ 个
求sg函数时偶数个的异或会消去贡献，那么我们只需要判断一下奇偶性来求贡献就ok
看到这个熟悉的下取整说明可以分块跳着做，不过这里需要多判断一步奇偶性
就酱

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)
#define fill(x,t) memset(x,t,sizeof(x))

const int N=100055;

int sg[N],rec[N],f;

int read() {
    int x=0,v=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
    for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
    return x*v;
}

int get_sg(int n) {
    if (~sg[n]) return sg[n];
    if (n<f) return sg[n]=0;
    int sum;
    for (int m=2,k;m<=n;m=k+1) {
        k=n/(n/m);
        rep(j,m,std:: min(m+1,k)) {
            sum=0;
            if ((j-n%j)&1) sum^=get_sg(n/j);
            if ((n%j)&1) sum^=get_sg(n/j+1);
            rec[sum]=n;
        }
    }
    for (sg[n]=0;rec[sg[n]]==n;sg[n]++);
    return sg[n];
}

int main(void) {
    fill(sg,-1);
    int T=read(); f=read();
    while (T--) {
        int sum=0;
        for (int n=read();n;n--) sum^=get_sg(read());
        if (sum) putchar('1');
        else putchar('0');
        if (T) putchar(' ');
    }
    return 0;
}