jzoj5663 [GDOI2018Day1模拟4.17]呼吸决定

Description

---

这次的题意出奇短
求

$$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)i^m$$
已知$1\leq n\leq 10^9$且$1\leq m\leq 2\times10^5$，答案模$998244353$

Solution

---

这次真的不是偷懒而是题目真的短
这大概是我第一篇纯口胡博客，总是码码码就没时间惹
比较想吐槽其他三题的题目都是成语但是这题是啥玩意

我们令$f(x)=\mu(i)i^m$，$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$，我们知道$\mu(i)$和$i^m$都是积性函数，辣么$f(x)$也是积性函数。现在我们要求一个积性函数的前缀和$S(n)$

回想一下杜教筛的推导过程，令$g(x)=x^m$，有

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})=1$$
$$1=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)\times d^m\times (\frac{i}{d})^m=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})(\frac{i}{d})^m\times d^m$$
$$1=\sum_{d=1}^{n}d^m\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)i^m=\sum_{d=1}^{n}d^mS(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$$
$$S(n)=1-\sum_{d=2}^{n}d^mS(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$$

这样搞一搞自然数幂和搞一搞hash标记就能杜教筛递推惹，这样大概有90分