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最新推荐文章于 2019-08-13 13:19:00 发布

olahiuj

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分类专栏： c++ 欧拉函数文章标签： bzoj

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欧拉函数

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本文介绍了一种高效计算从1到n范围内各整数与n的最小公倍数之和的方法。通过数学推导，将问题转化为求解特定形式的数论函数，并给出了一段C语言实现的代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.

1 <= T <= 300000
1 <= n <= 1000000

Solution

刷水题有益身心健康~

a n s = n \sum d | n \sum i = 1 n d i [g c d (n d, i) = 1]

$ans=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[gcd(\frac{n}{d},i)=1]$
等同于

n \sum d | n 1 2 φ (d) d

$n\sum_{d|n}\frac{1}{2}\varphi(d)d$

其实最开始的时候yy了一下gcd=1那里套一个μ的，感受了一下似乎能做惹

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int N=1000005;

int phi[N+1],prime[N/10];
bool not_prime[N+1];

void pre_work() {
    phi[1]=1;
    rep(i,2,N) {
        if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;i*prime[j]<=N&&j<=prime[0];j++) {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

void solve(int n) {
    LL ans=0;
    for (int i=1;i*i<=n;i++) {
        if (n%i) continue;
        if (i==1) ans+=1;
        else ans=ans+(LL)i*(LL)phi[i]/2;
        if (i*i!=n) ans=ans+(LL)(n/i)*(LL)phi[n/i]/2;
    }
    ans=ans*n;
    printf("%lld\n", ans);
}

int main(void) {
    pre_work();
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        int n; scanf("%d",&n);
        solve(n);
    }
    return 0;
}