bzoj2693 jzptab

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本文介绍了一种解决特定数学问题的方法：求解∑i=1n∑j=1mlcm(i,j) (mod 100000009) 的高效算法。通过预先计算和分块技术来快速响应多组询问。

Description

求

\sum i = 1 n \sum j = 1 m l c m (i, j) (mod 100000009)

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j) \pmod {100000009}$
多组询问

Solution

同bzoj2154，原本写的就是分块的所以改改就过了
双倍经验

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const LL MOD=100000009;
const LL ny2=50000004;
const int N=10000005;

int prime[N/10],low[N+1];
short mu[N+1];
bool not_prime[N+1];
LL f[N+1];

void pre_work(int n) {
    mu[1]=f[1]=low[1]=1;
    rep(i,2,n) {
        if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            low[i]=i;
            mu[i]=-1;
            f[i]=1-i;
        }
        for (int j=1;i*prime[j]<=n&&j<=prime[0];j++) {
            LL x=i*prime[j];
            not_prime[x]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                low[x]=low[i]*prime[j];
                mu[x]=0;
                if (i==low[i]) {
                    f[x]=f[i];
                } else {
                    f[x]=(f[i/low[i]]*f[low[i]*prime[j]])%MOD;
                }
                break;
            }
            low[x]=prime[j];
            f[x]=(f[i]*f[prime[j]])%MOD;
            mu[x]=-mu[i];
        }
    }
    rep(i,1,n) f[i]=f[i]*i%MOD;
    rep(i,1,n) f[i]=(f[i]+f[i-1])%MOD;
}

LL S(LL n) {
    LL ret=n*(n+1)%MOD*ny2%MOD;
    return ret;
}

void solve(LL n,LL m) {
    LL ans=0;
    for (LL i=1,j;i<=n;i=j+1) {
        j=std:: min(n/(n/i),m/(m/i));
        LL sum=(f[j]-f[i-1]+MOD)%MOD;
        LL a=S(n/i); LL b=S(m/i);
        LL tot=a*b%MOD*sum%MOD;
        ans=(ans+tot)%MOD;
    }
    if (ans<0) ans=(ans+MOD)%MOD;
    printf("%lld\n", ans);
}

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {
    if (!b) {
        x=1; y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    LL tmp=x; x=y; y=tmp-(a/b)*x;
}

int main(void) {
    pre_work(N);
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        LL n,m; scanf("%lld%lld",&n,&m);
        if (m<n) std:: swap(n,m);
        solve(n,m);
    }
    return 0;
}