bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题欧拉函数

原创于 2018-01-04 21:50:01 发布 · 251 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#c++ #bzoj #欧拉函数

c++ 同时被 2 个专栏收录

1073 篇文章

订阅专栏

数论

23 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个有趣的数学问题：对于给定整数N，求解所有小于等于N的整数i与N的最大公约数(gcd)之和。文章提供了详细的解题思路与算法实现，包括枚举因数求贡献的方法以及欧拉函数的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<= i <=N)。

对于60%的数据，0 < N<=2^16。
对于100%的数据，0 < N<=2^32。

Solution

不难想到枚举gcd求贡献，这个gcd一定是n的因数，那么我们就需要求 $\sum_{i\mid n}{i*\varphi(\frac{n}{i})}$
枚举因数可以直接 $\sqrt{n}$ ，phi的求法这里直接 $\varphi(n)=n*\frac{\Pi{(P_i-1)}}{\Pi{P_i}}$ 其中P是n的不同质因数，这样就又是 $\sqrt{n}$ 的了

Code

#include <stdio.h>
typedef long long ll;
ll phi(ll n) {
    ll ret=n,tmp=n;
    for (ll i=2;i*i<=tmp;i++) {
        if (tmp%i==0) {
            ret=ret*(i-1)/i;
            while (tmp%i==0) tmp/=i;
        }
    }
    if (tmp>1) ret=ret*(tmp-1)/tmp;
    return ret;
}
int main(void) {
    ll n; scanf("%lld",&n);
    ll tmp=n,ans=0;
    for (ll i=1;i*i<=n;++i) {
        if (tmp%i==0) {
            ans+=i*phi(n/i);
            if (i*i<n) ans+=(n/i)*phi(i);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}