树状数组POJ2155

POJ 2155是一道很不错的题目，表面上看，这题的要求似乎和树状数组的使用方法恰好相反，改变的是一个区间，查询的反而是一个点。实际上可以通过一个转化巧妙的解决。

首先对于每个数A定义集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))...} 定义集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) ... , 0}。可以发现对于任何A<B，up(A)和down(B)的交集有且仅有一个数。

于是对于这道题目来说，翻转一个区间[A,B]（为了便于讨论先把原问题降为一维的情况），我们可以把down(B)的所有元素的翻转次数+1，再把down(A-1)的所有元素的翻转次数-1。而每次查询一个元素C时，只需要统计up(C)的所有元素的翻转次数之和，即为C实际被翻转的次数。

实际实现时，由于只考虑奇偶，因此无须统计确切的翻转次数。另外，如果翻转up(A)和up(B+1)，查询down(C)，也是同样的效果。这种方法可以很容易地扩展到二维情况。比起线段树、四分树之类的常规思路，无论编程复杂度还是常数速度上都有很大优势。

 

参考文献：

[1] http://baike.baidu.com/view/1420784.html

[2]