jzoj3748 【CF446D】DZY Loves Games(games)

Problem

今天DZY 想要玩一个古老的游戏。他在一个有n 个房间并有m 个走廊互相连接的大迷宫里（每个走廊都允许双向通行）。你可以认为所有房间都被走廊直接或间接连接。
DZY 在迷宫里迷路了。现在他在第一房间并且有k 条命。他将会按如下所述行动：
首先，他会随机抽取一条从他现在所处房间出发的走廊。每个抽取范围内的走廊选中的机率相等。
然后他会沿着走廊走到走廊的另一端，并且回到第一步重复这个过程。
迷宫中的一些房间里面埋着陷阱。第一房间明显没有陷阱，第n 号房间明确地有一个陷阱。每次DZY 进入这些有陷阱的房间，他都会失去一条命。现在，DZY 知道如果他恰好有两条命时进入了第n 号房间，那么首先他会失去一条命，但是然后他会开启一个福利关卡。他想要知道他开启福利关卡的机率到底为多少。请帮助他。（陷阱最多100个）

对于30% 的数据，$n <=10$
对于100%的数据，$2 <=n <=500; 1 <= m <=10^5; 2 <= k <= 10^9$

分析

w(u,v)为从房间 u 出发，到达房间 v，除了房间 u,v 外，经过的任何房间都没有陷阱的概率。
只需要求出w(u,v)，即可通过矩阵乘法求答案。

显然，对于 u 相同的 w(u,v)，可以通过高斯消元在 O(n^3)的时间内一起求出。因此， 求出所有 w(u,v)的时间复杂度为 O(n^4)。

但对于n<=500，$O(n^4)$是无法接受的时间复杂度，所以我们想办法将其优化到$O(n^3)$。
先枚举起点u，设f[i]表示从起点u开始，到I且不经过陷阱点（不包括i,j）的概率是多少。

将黑点拆分为入点与出点后易得出方程$f[i]=\sum{f[j]/d[j]}$，黑点出点的贡献我们不列入方程内，因为其只能作为常数项存在（见下文）。
但是还要考虑一个特殊的起点：1号点。 考虑到只有一个特殊点，所以我们像黑点一样拆点，要注意的是由于1号点是不耗血的，所以绕圈回去是没有用的。不需要有入点。

这样我们可以解出方程，但由于没有确定的起点，所以没有常数，解得全为0.
但我们发现对于不变的系数矩阵，$xi$可以表示成若干常数之和，$xi=a1*b1+a2*b2...$
所以我们用$O(n^2*(n+n))$求出每个未知数的常数系数。

显然初值为f[u]=1，我们可以发现黑出点u对某些方程有一个已知的贡献：$1/d[u]$。那么我们直接修改对应的常数。然后$O(n)$求w(u,v).