通过基于连续波直扩信号匹配滤波结果的最小均方误差估计实现快速交叉项抑制

原作：Yuyao Shen

摘要

在直扩（DSSS）系统中，多址干扰抑制对于提升捕获性能非常关键。因此，本文提出了一种基于最小均方误差准则的快速交叉项抑制算法。此算法利用匹配滤波结果，因此其可以应用于现存的基于直接伪随机噪声码相关方法的直扩接收机。本质上，本算法是一种同时对各个单个非确定码相位延时都进行了优化的自适应滤波器。本算法同时利用了理想信号和多址干扰信号的码序列信息，这使它的性能远远优于标准匹配滤波器、传统最小均方（LMS）算法，本算法相比现存的多基自适应脉冲压缩算法通过降低自适应滤波器的阶数，大大减少了计算量，但这会给性能带来轻微的损失。数字仿真结果验证了算法的有效性。

引言

直扩信号如今广泛应用于测控（TT&C）、通信及导航领域。然而，直扩信号的检测与同步性能一直受限于码序列的正交性之不完全。其带来的后果为多址干扰[1]。因此，伪码捕获中的交叉项抑制（CCM）方法具有重要意义并受到了广泛关注[2]（好像并没有）。

在[3, 4]中，MMSE从信息恢复领域[5,6]扩展到了捕获中的异址干扰抑制，文章通过基于MMSE的LMS方法实现了伪码的粗同步。然而LMS的收敛速度和稳态性能受步长影响很大。为了保证LMS的性能需要一种复杂的步长设计。与之相对的，[7-10]中针对脉冲雷达信号提出的RMMSE算法只需更少的迭代次数且无需复杂的步长设计。另外，RMMSE算法对于副瓣抑制的性能非常优秀。[7]中提出了一种基于RMMSE的多基脉压（MAPC）算法，用以抑制多基雷达中的异址干扰并取得了很好的效果。然而， 就该算法并未引入至连续波直扩系统，如导航或TT&C领域。此外，考虑到MAPC的滤波器长度直接正比于波形长度，例如直扩系统中的码长，对于直扩信号而言，其长度远大于脉冲雷达信号，其结果为运算量极大、阻碍了MAPC在实际场景中的实现。与APC相比（其为一针对单基雷达的简化版MAPC），脉压修复（PCR）算法[9,10]在处理过程中利用匹配滤波输出代替基带接收信号，通过降低滤波器阶数（即长度）牺牲了可容忍的性能、大大降低了计算复杂度。降低后的滤波器阶数与码长无直接关系，因此PCR比APC更适合于连续波直扩系统。然而，为将PCR作为一CCM方法应用于直扩系统，现有的针对单基脉冲雷达的PCR算法需作出调整，以应用于多用户连续波直扩信号模型。

本文中，针对直扩系统中的CCM提出了一种基于PCR[10]的快速交叉项抑制（FCCM）算法。与PCR相同，FCCM使用匹配滤波输出结果。收到MAPC的启发，期望信号和MAI信号的码序列信息被完全利用，这使其抗MAI性能得到了很大提升。FCCM与PCR主要的不同不仅是用户数量，还在于自适应滤波器的系数。自适应滤波器的不同由雷达系统和直扩系统的不同信号模型引入：雷达信号为脉冲信号而直扩信号为连续波。据我们所知，此前尚未有人提出此类算法。

信号模型

接收数字基带信号可表示为：
$$y(n{T}_s)=\sum _{k=0}^{K-1}{A}_k{C}_k(n{T}_s)+v(n{T}_s),（1）$$
其中$T_s$为采样间隔，$n{T}_s$表示第n次采样时刻，$v$为加性噪声、方差${\sigma }^2$，$K$为发射机数目，$A_k、C_k$为第k发射机对应的幅度与扩频码序列。为方便后面的推导，将（1）改写为：
$$\mathbf{y}(l)=\sum _{k=0}^{K-1}{\mathbf{X}}_k^T(l){\mathbf{c}}_k+\mathbf{v}(l),（2）$$
其中$\mathbf{y}(l)=[y(l)\cdots y(l+L-1){]}^T$，是一个长为L的接收信号采样的向量，${\mathbf{c}}_k=[c_{k,0}\cdots c_{k,L-1}{]}^T$为一个整周期的伪码采样。$L=T/T_s$为一个伪码周期$T$内的采样点数。$\mathbf{v}$是噪声向量，${\mathbf{X}}_k$是$L\times L$的冲击响应向量的位移矩阵。
$${\mathbf{X}}_k=懒得写了（3）$$
其中${\mathbf{x}}_k(l)$为代表接收机与第k发射机之间伪距的无模糊距离的L点距离像冲激响应。尽管连续波直扩信号的模型与脉冲雷达看起来相似，直扩信号的连续性与周期性与雷达信号的脉冲特性是不同的。例如，直扩系统传输连续扩频信息，而雷达波形为脉冲（这不是废话么）。考虑到距离模糊——其由扩频码周期时间所决定——则直扩系统的距离向冲击响应亦为周期的。因此，对于任意整数$m$及$l=0,1,\cdots ,L-1$，都有$x_k(mL+l)\equiv x_k(l)$。如式（3）所示，矩阵${\mathbf{X}}_k$包含距离像的$2L-1$个采样。在连续波直扩系统中，${\mathbf{X}}_k$的第i对角线的元素与第(i-L)对角线相同。然而，对于雷达信号，脉冲重复周期远长于脉冲宽度；因此，(2L-1)点连续距离像中的任意两点都是不同的，即：${\mathbf{X}}_k$中的任意两对角线，元素不同。因此，连续波直扩系统与脉冲雷达系统的${\mathbf{X}}_k$不同，这也导致了其自适应滤波器表达式的不同，下一节将对此进行具体描述。

不失一般性地，相参积累时间设定为与码周期相同，对应通道k的匹配滤波结果为：
$$z_k(l)=懒得敲了，就是{\mathbf{r}}_{kq}乘以{\mathbf{x}}_q(l)然后求和（4）$$
其中${\mathbf{r}}_{kq}$为扩频码线性自相关项（$k=q$），为线性交叉项（$k≠q$）。

传统捕获算法直接对匹配滤波结果进行判决，而所提算法基于由MF结果得到的CCM结果。图1展示了其图表表示（并没有get这个图标的意义是啥，不画了）。

对于FCCM算法，MMSE滤波器的权系数向量表示为${\mathbf{w}}_k(l)$，其对于每个距离单元分别计算。然后应用于下式：
$${\hat{x}}_k(l)={\mathbf{w}}_k^H(l){\mathbf{z}}_k(l),（5）$$
其中${\hat{x}}_k(l)$为对第$l$单元距离像的估计。假设应用一(2N-1)阶MMSE滤波器，则${\mathbf{w}}_k(l)=[w_k(l-N+1)\cdots w_k(l+N-1){]}^T$，N为一不大于L的正整数。${\mathbf{z}}_k(l)$为匹配滤波输出。作为一重要部分，${\mathbf{w}}_k(l)$将在下一节进行推导。

FCCM 算法

${\mathbf{w}}_k(l)$的选择应使MMSE代价函数最小，代价函数由下式给出：
$$J_k(l)=E[|x_k(l)-{\hat{x}}_k(l){|}^2]=E[|x_k(l)-{\mathbf{w}}_k^H(l){\mathbf{z}}_k(l){|}^2].（6）$$
因此，最优的MMSE滤波器权系数向量可由维纳-霍夫方程给出：
$$\mathbf{w}={\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{p},（7）$$
其中$\mathbf{R}=E[{\mathbf{z}}_k(l){\mathbf{z}}_k^H(l)]$表示匹配滤波输出结果的自相关矩阵，$\mathbf{p}=E[{\mathbf{z}}_k(l)x_k^{\ast }(l)]$为匹配滤波结果与理想信号的扩频码可交叉相关向量。通常来讲，一给定的距离单元被假设为与同一发射机在无模糊距离内的其他距离单元、其他发射机的所有距离单元以及噪声项都不相关。因此，将（4）代入（7），${\mathbf{w}}_k(l)$可简化为下式：
wk(l)=(∑Ckq+Uk)−1{ρrkk},太复杂了不全抄了（8）\bm{w}_k(l)=(\sum \bm{C}_{kq}+\bm{U}_k)^{-1}\{\rho \bm{r}_{kk} \},太复杂了不全抄了（8）wk​(l)=(∑Ckq​+Uk​)−1{ρrkk​},太复杂了不全抄了（8）
其中${\mathbf{r}}_{kk}(a:b)$为$r_{kk}(a)$到$r_{kk}(b)$组成的向量，${\mathbf{U}}_k$为噪声矩阵。
$${\mathbf{U}}_k=懒得抄了（9）$$

又，$${\mathbf{C}}_{kq}=（10）$$，$${\mathbf{R}}_{kq}=（11）$$，$$\mathbf{D}=（12）$$。
在此，$\mathbf{\Lambda }$为一对角阵，$\mathbf{\rho }$为，，，。对于连续波直扩信号，$\rho$为$x$的能量期望，并以L点为周期折叠。因此$\mathbf{D}$为五个对角阵的和，如（12）所示。因此，对于每个发射机和每个距离单元的FCCM滤波器设计中的协方差矩阵，包含了互相关结果、自相关结果以及发射机对应的连续距离单元的能量。只要每个发射机的伪码序列确定，则前两项就可求得。因此，FCCM的关键部分即每个发射机和每个距离单元对应的能量估计。初始的能量估计又匹配滤波的归一化结果计算得到：
$$（13）$$

另外，在下面的迭代操作中，能量估计由上次MMSE滤波迭代的输出计算得到：
$$（14）$$

相比之下，PCR滤波器的系数向量仅仅由自相关矩阵${\mathbf{C}}_{kq}$得到，因此PCR方法不能辅助MAI抑制，在MAI场景下检测性能很差。另外，连续波直扩信号的${\mathbf{w}}_k(l)$表达式与脉冲雷达不同，如[9,10]所示。因此，此MMSE滤波器与上两种不同。