博弈问题

题目描述

小赛是一名聪明的程序员。

他的聪明确保他一定会应聘成功^_^~

在应聘会上，人事主管向小赛提出了这样一个问题——

这次招聘的规则是这样的。

一共有n个人（n>1）参加应聘。

人事主管事先选好了一个正整数x，他会把自己选的这个数x告诉前来应聘的每一个人。

每个人（包括小赛）都可以选择1~m中的任意一个实数（就不要问实数是怎么选的啦!）。参加应聘的人都不会知道其他人选择了什么。

最后所有人都选完数后，我们会把所有数加起来，然后求个平均数(即除以(n+1))，再乘上p/q，设得到的结果为y(y也是个实数).

所有选择的数最接近y的应聘者会被企业选中。

这n个应聘者都同样足够聪明，这n个应聘者都知道其他人也足够聪明，这n个应聘者都想被企业选中。

请你告诉我们，小赛在这种情况下，需要选择1~m中的哪个数才会被企业选中呢？

输入

第一行三个正整数n,m,x，其中n表示参加应聘的人数，m表示应聘者选择数的范围是1~m，x表示人事主管选择的数x.

第二行两个正整数p,q，表示算出的平均数要乘上p/q.

数据保证——p<=q

数据保证——题目有解且有唯一解。

数据保证——

对于30%的测试点，

2<=n<=5，

1<=m,x<=5，

1<=p<=q<=5

对于70%的测试点，

2<=n<=100，

1<=m,x<=100，

1<=p<=q<=100

对于100%的测试点，

2<=n<=10000，

1<=m,x<=10000，

1<=p<=q<=10000

输出

输出一行，包含一个1~m范围内的实数，表示小赛应当选择的数。（四舍五入保留2位小数）

样例输入

2 4 9

2 3

样例输出

3.60

题目来源：博弈问题

C代码如下：

#include<stdio.h>
int main()
{
  int n,m,x;
  int p,q;
  double res = 0.0;
  scanf("%d %d %d",&n,&m,&x);
  scanf("%d %d",&p,&q);
  res = (double)x*p/((n+1)*q-n*p);//假设小赛选的数等于y，根据测试用例可反向推出该式子,见下式(7)
  //另外，小赛选择的数必须位于[1,m]之间
  if(res < 1.0)
      res = 1.0;
  if(res > m)
      res = m;

  printf("%.2f",res);
  return 0;
}

我的思路

根据测试用例，假设小赛选择的数等于y（3.6），n=2，m=4，x=9，p=2，q=3，（n+1）个数的和为T，均值为t，则根据题意可得到：

$$t\frac { p }{ q } =y\cdots \cdots \cdots 式\left( 1 \right)$$
$$和$$
$$\frac { T }{ n+1 } =t\cdots \cdots \cdots 式\left( 2 \right)$$

带入测试用例数据得到：

$$t\frac { 2 }{ 3 } =3.6\Rightarrow t=5.4\cdots 式\left( 3 \right)$$
$$和$$
$$\frac { T }{ n+1 } =t\Rightarrow T=5.4\left( 2+1 \right) =16.2=9+7.2=9+2*3.6\cdots 式\left( 4 \right)$$

进而可反向推出：

$$T=9+2*3.6=x+n*y\Rightarrow t=\frac { T }{ n+1 } =\frac { x+n*y }{ n+1 } \cdots \cdots 式\left( 5 \right)$$
$$\Rightarrow$$
$$y=t\frac { 2 }{ 3 } =t\frac { p }{ q } =\frac { x+n*y }{ n+1 } \frac { p }{ q } \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 式\left( 6 \right)$$

根据式（6）可得出：

$$y=\frac { xp }{ \left( n+1 \right) q-np } \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 式\left( 7 \right)$$

由此即可得出小赛应该选择的数y了。

另外，实际写程序时因为小赛选择的数有固定范围，所以最后还需另外判断。