codeforces 850c sg函数

最新推荐文章于 2020-08-26 15:22:20 发布

nnbs

最新推荐文章于 2020-08-26 15:22:20 发布

阅读量727

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：博弈文章标签：博弈 sg codeforces

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jlu_nnbs/article/details/77871842

博弈专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

该博客分析了codeforces 850C问题，这是一个涉及质因数分解和博弈策略的题目。博主探讨了当数字全为2的倍数时的博弈情况，并指出这不是一个nim游戏。通过位运算分析了操作如何影响数字状态，构建了有向无环图以计算SG表。最后，博主提出了解决任意情况的方法，即分解质因数并异或每个质数的SG值来确定胜负状态。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目传送门：http://codeforces.com/problemset/problem/850/C

博弈题，题目大意是给你一些数字，可以有这样的操作，选一个质数 $p$ 和一个正整数 $k$ ，可以这样选的条件是存在 $n$ ，使得 $p^k|n$ ，若这样做，令所有数字中可以被 $p^k$ 整除的数字除以 $p^k$ .两个人一直这样做下去，最先无法操作的人输。

先考虑所有数字都是2的倍数的情况，可以很显然的发现如果只有两个2，这样仍然是先手必胜，显然这样并不是一个nim游戏，因为可以一下子“把两堆石子取走”，故而同时有多个 $2^k$ 和只有一个 $2^k$ 的情况是相同的。而且一个2和一个4的情况下，我们也不能简单的将只有一个2的情况和只有一个4的情况下的sg值异或起来，结果显然不对。因为我们取 $2^k$ 时，对所有 $m >= k$ ， $2^{m}$ 都会变成 $2^{m-k}$ ，而小于的情况下数字并不改变。

由上面的性质我们很容易想到位运算，第 $i$ 位表示 $2^i$ 是否有数，显然当前的操作可以是 $2^1, 2^2, 2^3, ...$ 显然我们通过位运算就可以得到下一步的状态是什么，这样是一个有向无环图，我们就可以打sg表了。

考虑任意情况，显然我们可以分解质因数，存下来分解后每个质数及其指数的情况，和只有2的情况是一样的，这回我们可以看作是一个nim游戏了，将每个质数的sg异或起来就是答案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
const int MAX = 1e5 + 10;
int prime[MAX], vis[MAX], cnt;
map<int, int> m, sg;

void init()
{
    for (int i = 2; i < MAX; i ++) {
        if (!vis[i]) {
            prime[cnt ++] = i;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; j ++) {
            if (i * prime[j] >= MAX) break;
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

void split(int x)
{
    int t;
    for (int i = 0; i < cnt; i ++) {
        if (prime[i] * prime[i] > x) break;
        t = 0;
        while (x % prime[i] == 0) {
            ++ t;
            x /= prime[i];
        }
        if (t)
            m[prime[i]] |= (1 << (t - 1));
    }
    if (x > 1) {
        m[x] |= 1;
    }
}

void dfs_sg(int x)
{
    if (sg.count(x)) return ;
    int v[32];
    memset(v, 0, sizeof v);
    for (int i = 1; x >> (i - 1); i ++) {
        int mask = (x >> i) | (x & ((1 << (i - 1)) - 1));
        dfs_sg(mask);
        v[sg[mask]] = 1;
    }
    for (int i = 0; ; i ++) {
        if (!v[i]) {
            sg[x] = i;
            return ;
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    int n, a, ans = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", &a);
        split(a);
    }
    sg[0] = 0;


    for (auto it = m.begin(); it != m.end(); it ++) {
        dfs_sg(it -> second);
        ans ^= sg[it -> second];
    }
    if (ans) {
        puts("Mojtaba");
    } else {
        puts("Arpa");
    }
    return 0;
}