区间图着色问题

一、题目

    我们可以做出一个区间图，其顶点为已知的活动，其边连接着不兼容的活动。为了使两个不兼容的节点颜色不同，所需的最少颜色数是多少？

 

二、用贪心算法解决这个问题需要几个步骤。

    1、证明问题的最优子结构性质。

    如果有一个方案使用了最少的颜色（不包括最后一个颜色），那么去除这个颜色所包含的活动，剩余部分对应的颜色方案也一定使用了最少的颜色。如果不是，那么可以用新的使用更少颜色的方案来替代原方案，则在原问题上产生一个新的最少颜色数的方案，这样的结果和原来的假设矛盾。

    同时也可以证明:

   如果一个方案使用了最少的颜色（不包括最后一个颜色），那么在其一个颜色所包含的兼容子集中,必定包含使用最多集合的一个方案

 

    证明:

        如果集合C是一个使用最多集合的方案,并且它不在最少颜色的方案P中,那么方案就包括了一个比C小的集合B.假设E=C-B 那么可以P-B的集合中在减掉E并且 这个集合也具有最少的颜色数.所以假设成立.

 

    2、设计一个递归解。

    这里不知道怎么分析,请高手指教

 

    3、贪心解