离散数学_概述&&数理逻辑(一):命题逻辑

前言

        每一件事都存在现象和本质.现象是表面,本质是内在.数学可以说是自然科学之母,是一切自然现象的本质.对于编程,表面上是在写代码,实际上是在用离散数学理解问题和解决问题.

        笔者从一门高级语言入门学习编程,常常在学习和写代码时有"磕磕绊绊"的感觉.尽管在写代码的过程中,自己也能悟出和代码相关联的部分离散数学原理,但是没有系统学习过离散数学,会走不少弯路.所以这门重要的基础课需要补上.

引入

        以下黑体字摘自某百科:离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域.

        题外话:如果把数学看成现象,那他的本质又是什么?笔者认为数学源自逻辑,逻辑源自哲学.

        本贴内贴图来自网络视频

        离散数学内容宽广,和计算机有关的内容集中在数理逻辑,集合论与图论,代数系统论等几个方面.

数理逻辑概念

        数理逻辑:用数学方法研究思维规律的一门学科.

        数学方法:用一套数学的符号系统来描述和处理思维的形式与规律

        数理逻辑又称为符号逻辑.        ---将逻辑符号化,数学和思维联系起来的课目

数理逻辑内容

        命题逻辑基本概念

        命题逻辑等值演算

        命题逻辑的推理理论

        一阶逻辑基本概念

        一阶逻辑等值演算与推理

命题逻辑基本概念

命题

        能判断真假的陈述句称为命题

        真值:命题判断真假的结果. 真值只取两个值:真或假.任何命题的真值都是唯一的.

        命题判断方法:

        1.是否为陈述句.2是否有唯一真值

命题判断举例:

        ---解读: 容易弄错的是第(3)和第(7).

                     x+5>3       

                    //这是陈述句.是否有唯一真值?x不确定因此真值不确定,所以不是命题

                    2050年元旦下大雪.       

                    //这是陈述句.前提存在结果未知,所以是真值(有且唯一)未知的命题.

悖论

        举例:我正在说假话.---这是命题吗?

        分析:命题的特点:唯一真值.真值可取0或者1.用假设的方法推导如下:

                假设这是个真命题,那么"我正在说假话",推导出"我说的是假话",结果与假设矛盾.

                假设这是个假命题,那么"我正在说假话",推导出"我说的是真话",结果与假设矛盾.

        这被称为:悖论.悖论不是命题.

命题和真值的符号化

        用真值描述命题是"真"还是"假",分别用"1"和"0"表示

        命题用小写的英文字母p、q、r(或者带下标)来表示

复合命题

        前面所说的命题格式:A是B,A不是B.

        前提和结论都是一个对象,属于简单命题,又称原子命题.特点:无联结词

        上图中命题的前提或结论有多个对象,称为复合命题.特点:有"或","如果...","则"等联结词

联结词

        五种联结词:¬, ∧,∨,→,↔

否定联结词¬

        ¬表示非运算,如下图所示

合取联结词∧

        ∧表示逻辑与,如下图所示

        形象表达:两个真值都是1,合取后得1.---相当于电路中的串联.

析取联结词∨

        ∨表示逻辑或,如下图所示

        形象表达:两个真值都是0,析取后得0.---相当于电路中的并联.

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合取与析取符号的由来

        合取:逻辑与→英文单词and→首字母a去掉下半部→∧

        析取:逻辑或→英文单词or→首字母o去掉上半部→∨

注意:C语言中的"∧"表示位异或,与合取有区别.

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蕴涵联结词→

        →表示蕴涵联结词,如下图所示

        这个不好理解,从图上能看出:.只有当前提为真,结论为假时,蕴涵式为假.

        他是一种形式逻辑的表达,没有具体含义.

        老师说,可以理解成≤符号.即p≤q时,蕴涵式为真.

等价联结词↔

        ↔表示等价联结词,如下图所示

        形象表达:判断是否相等.当两个真值相等时,等价式为真.

联结词优先级

        第0优先级:()       

        第1优先级:¬(一元运算符通常高于二元运算符)   第2优先级:∧,∨   第3优先级:→,↔

命题公式

     1.单个命题变元(p,q,r)或者常元(0,1)是命题公式.   ---命题是命题公式的一种.

     2.若A是命题公式,则 ¬A也是

     3.若A,B是命题公式,则A∧B,A∨B,A→B,A↔B也是  

     4.只有有限次应用1-3形成的符号串才是命题公式. ---命题公式不是无限长度的.

真值表

        可满足式:只要有一个值为1;  矛盾式(永假式):全为0; 重言式(永真式):全为1;

        可满足式与矛盾式互斥,但永真式也属于可满足式.矛盾式和永真式实际相同,只研究一种即可

        

等值式

        如图

        应用:因为蕴涵联结词不太容易理解,所以遇到左边的表达时一般换算成右边的形式运算.

基本运算律 

        包括幂等律,交换律,结合律,分配律       

        分配律类似于代数计算的A(B+C)=AB+AC                

德摩根律

        德摩根律如图,类似于代数计算中的-(A+B)=-A-B     //与或反号

吸收律

        如图

零律和同一律

        说明:命题中有1个是常元(0或者1)

        零律:或1与0表示"强势",出现这两种情况判定为数字.

        同一律:与1或0表示"弱势",出现这两种情况判定为其他值.

排中律和矛盾律

        注意:排中律不是绝对正确,如果是悖论,排中律不适用

对偶定理

        当运算中只有"与或非"(没有蕴含和等价联结词)时,可以将∧-∨互换,0-1互换

        例子:零律,同一律,排中律,矛盾律都是对偶定理的应用.

双重否定律,蕴涵等值式,等价等值式

        如图

        

        形象理解:双重否定率表示负负得正

                        蕴含等值式前面论证过

                        等价等值式:A和B互为充分必要条件,等价于A是B的充分条件并且B是A的充分条件.

                                           可以用代数关系来看:A等于B,等于A≤B并且B≤A.

        等价等值式可以化成蕴涵等值式.同样蕴涵等值式可以化成与或运算,所以只计算与非,或非即可

等价否定等值式,假言易位,归谬论

        如图

        假言易位:如果某命题成立,则逆否命题成立

        归谬论:如果A不能推出B,A也不能推出非B,则A是错误的(反证法)

等值演算举例

        如图

小结

        离散数学比较抽象,喜欢的话会挺有趣,特别是一上来看命题逻辑,把文科结合到数学了

        简单总结:一个陈述的句子,有真假两种情况---真值(0或1)---简单命题.

                        多个简单命题用联结词(运算符)进行运算,也能得到真值  ---复杂命题

                        永真式做判断两者是否相同