《一笔画问题》解题报告

问题描述：

    zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。
规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。
输入
第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。
输出
如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。
样例输入
2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4
样例输出
No
Yes

分析：

    有两种解法。
    方法1是利用dfs或bfs，但是时间复杂度很高。
    方法2是利用欧拉定理的性质，使用并查集加速解决！

方法1：dfs

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int Max = 1111;
int map[Max][Max];
int vis[Max],coun[Max];
int n,p,q,f;
void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++){ //对于每个顶点 
        if(map[u][i]){ //如果存在边<u,i> 
            coun[u]++;   //每个顶点的度数 
            if(!vis[i]) dfs(i);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        f=0;
        memset(coun,0,sizeof(coun));
        memset(map,0,sizeof(map));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int a,b;
        scanf("%d %d",&p,&q); //p点,q边 
        for(int i=0;i<q;i++){
            scanf("%d %d",&a,&b);
            map[a][b]=map[b][a]=1;
        }
        dfs(1);
        for(int k=1;k<=p;k++) 
        	if(!vis[k]){
            	f=1; break;
        	}
        if(f) printf("No\n");
        else{
            int j=0;
            for(int k=1;k<=p;k++)
                if(coun[k]%2!=0) j+=1; //记录度数为奇数的个数 
            if(j==2||j==0)   //如果度数为奇数的为两个，则这俩个是起点和终点 
                printf("Yes\n"); //如果度数为奇数的为0个，则所有点可为起点 
            else printf("No\n");
        }
    }
    return 0;
}

方法2：并查集

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[1005],s[1005];//s记录每个节点的度 
int find(int x){ //寻找x根节点 
    if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int main(){
    int n,p,q,a,b;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        scanf("%d %d",&p,&q);
        memset(s,0,sizeof(s));
        for(int i=1;i<=p;i++) fa[i]=i; //开始每个节点的根节点都是自己 
        for(int i=0;i<q;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            s[a]++;s[b]++;
            if(find(a)!=find(b)) fa[find(b)]=find(a); //合并两个分支
        }
        int s1=0,s2=0;
        for(int i=1;i<=p;i++){
            if(find(i)==i) s1++;//判断是否为连通 
            if(s[i]%2==1) s2++;//统计度 
        }
        if(s1==1&&(s2==0||s2==2)) printf("Yes\n"); //欧拉定理 
        else  printf("No\n");
    }
    return 0;
}