[递归] 求一个字符串的所有顺序子串

1 题目：

输入参数：一个字符串，这个字符串只包含字母A-Z或者a-z
返回值：返回输入参数的所有顺序子串，不同的子串之间用逗号分隔。
顺序子串的定义是：只由输入参数中出现的字母，按照其在输入参数中出现的顺序组成的字符串。
例如：输入参数为 “abc”，返回值应该为： “abc, ab, ac, bc, a, b, c”。
该函数的Specification为：

/**
 * @param word consisting only of letters A-Z or a-z
 * @return all subsequences of word, separated by commas,
 * where a subsequence is a string of letters found in word 
 * in the same order that they appear in word.
 */
public static String subsequences(String word)

2 递归解法

2.1 分析：

假设输入参数为：$a_1a_2a_3...a_n$, 其中$a_1,a_2,...,a_n$ 代表输入参数中的每一个字母。
设 $S(n)$ 表示一个集合, 其元素是：$a_1$ 到 $a_n$ 共 n 个字母的所有顺序子串, $S(n-1)$ 表示一个集合，其元素是：$a_2$ 到 $a_n$ 共 n-1 个字母的所有顺序子串，以此类推，如下图所示，直到得到 $S(1)$ 的定义。
$S(0)$定义为空字符串， 为递归算法的 Base Case, 。

$$\underbrace{a_1\overbrace{a_2a_3...a_n}^{S(n-1)}}_{S(n)}$$
定义函数 $concatenate(a_i,S(n))$: 表示将 $a_i$ 与集合 $S(n)$ 中的每个元素进行连接操作。
于是有如下递归方程：
$$S(n) = S(n-1) \cup concatenate(a_i,S(n-1)) \quad\quad 其中i = len - n + 1, len 为输入参数的总长度$$
可以根据下面的例子理解上述方法：
设输入参数为： $a_1a_2a_3 ="abc"$， $""$代表空字符串
$S(0)="" \quad S(1) = S(0) + concatenate(a_3, S(0)) = c, ""$
$S(1)=c,"" \quad S(2) = S(1) + concatenate(a_2, S(1)) = bc,b,c,""$
$S(2)=bc,b,c,"" \quad S(3) = S(2) + concatenate(a_1,S(2)),即$
$S(3)=abc,ab,ac,bc,a,b,c,""$
时间复杂度:
由于输入参数所有的子序列都需要输出，将输出参数视为大小为n的集合，子序列为其子集和。大小为n的集合所有子集的个数为 $Pow(n)=2^n$, 所以时间复杂度为 $O(2^n)$。

2.2 设计递归方法

2.2.1 根据题目的约定（Specification)设计递归方法

/**
 * @param word consisting only of letters A-Z or a-z
 * @return all subsequences of word, separated by commas,
 * where a subsequence is a string of letters found in word
 * in the same order that they appear in word.
 */
 public static String subsequences(String word) {
      if (word.isEmpty()) {
          return ""; // base case
      } else {
         char firstLetter = word.charAt(0);
         String restOfWord = word.substring(1);

         String subsequencesOfRest = subsequences(restOfWord);

         String result = "";
         for (String subsequence : subsequencesOfRest.split(",", -1)) {
             result += "," + subsequence;
             result += "," + firstLetter + subsequence;
         }
         result = result.substring(1); // remove extra leading comma
         return result;
     }
 }

2.2.2 设计Helper方法使递归更简洁

根据递归方程设计递归方法时候，可以设计helper方法（如下）,使递归方程的代码实现更加简洁。
将前i个字母的一个顺序子串作为参数传入递归方法中, 实现同样的功能，使代码量减少，易懂。

/**
 * Return all subsequences of word (as defined above) separated by commas,
 * with partialSubsequence prepended to each one.
 */
private static String subsequencesAfter(String partialSubsequence, String word) {
    if (word.isEmpty()) {
        // base case
        return partialSubsequence;
    } else {
        // recursive step
        return subsequencesAfter(partialSubsequence, word.substring(1))
             + ","
             + subsequencesAfter(partialSubsequence + word.charAt(0), word.substring(1));
    }
}

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Reference

[1] 6.005 — Software Construction on MIT OpenCourseWare | OCW 6.005 Homepage at https://ocw.mit.edu/ans7870/6/6.005/s16/