softmax，CrossEntropyLoss 与梯度计算公式

最新推荐文章于 2025-08-02 09:23:12 发布
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#Softmax #CrossEntropy

本文详细介绍了softmax函数的定义及梯度，CrossEntropyLoss的定义，以及在多分类任务中使用softmax时的损失函数梯度计算。同时探讨了Distilling the Knowledge in a Neural Network论文中相关公式的推导。

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1. softmax ⁡ \operatorname {softmax} softmax 函数的定义

对于任意一个 n n n 维向量 X = ( ⋮ x i ⋮ ) X = \begin {pmatrix} \vdots \\ {x}_{i} \\ \vdots \end {pmatrix} X=⎝⎜⎜⎛​⋮xi​⋮​⎠⎟⎟⎞​ ，定义

softmax ⁡ ( X ) = ( ⋮ e x i ∑ k e x k ⋮ ) \operatorname {softmax} (X) = \begin {pmatrix} \vdots \\ \dfrac {e ^ {x_i}} { \sum \limits _{k} {e ^ {x_k} } } \\ \vdots \end {pmatrix} softmax(X)=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​⋮k∑​exk​exi​​⋮​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

2. softmax ⁡ \operatorname {softmax} softmax 的梯度

记 n n n 维向量 Y ^ = ( ⋮ y ^ i ⋮ ) = softmax ⁡ ( X ) \widehat {Y} = \begin {pmatrix} \vdots \\ \hat {y}_{i} \\ \vdots \end {pmatrix} = \operatorname {softmax} (X) Y =⎝⎜⎜⎛​⋮y^​i​⋮​⎠⎟⎟⎞​=softmax(X) ，则

∂ ∂ x j y ^ i = { e x j ∑ k e x k − e x j e x j ( ∑ k e x k ) 2 , i = j − e x i e x j ( ∑ k e x k ) 2 , i ≠ j = { y ^ j ( 1 − y ^ j ) , i = j − y ^ i y ^ j , i ≠ j \dfrac {\partial } {\partial {x_j}} {\hat {y}_{i} } = \begin {cases} \dfrac {e ^ {x_j} \sum \limits _{k} {e ^ {x_k} } - e ^ {x_j} e ^ {x_j} } { { \left ( \sum \limits _{k} {e ^ {x_k} } \right ) } ^2 }, & i = j \\ \\ - \dfrac { e ^ {x_i} e ^ {x_j} } { { \left ( \sum \limits _{k} {e ^ {x_k} } \right ) } ^2 }, & i \neq j \end {cases} = \begin {cases} \hat {y}_{j} \left ( 1 - \hat {y}_{j} \right ), & i = j \\ - \hat {y}_{i} \hat {y}_{j} , & i \neq j \end {cases} ∂xj​∂​y^​i​=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(k∑​exk​)2exj​k∑​exk​−exj​e

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【AI面试】分类损失横评：CrossEntropy Loss 、Balanced Cross Entropy、 Dice Loss 和 Focal Loss
钱多多先森
05-24 1981
分类损失学习汇总
Pytorch实用教程：多分类任务中使用的交叉熵损失函数nn.CrossEntropyLoss
若北辰
05-28 1146
`nn.CrossEntropyLoss` 是 PyTorch 中用于`多分类任务`的`标准损失函数`。它结合了 `nn.LogSoftmax` 和 `nn.NLLLoss`（负对数似然损失）。在多分类任务中，这个损失函数能够有效地评估模型预测的概率分布和真实标签之间的差异。
softmax函数
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03-31 6511
本文先介绍了softmax的函数公式，并详细推导了softmax函数公式的求导过程，然后说明了softmax的溢出问题，并探讨了解决方法，最后提及了softmax函数在多分类问题中的应用。
干货 | 浅谈 Softmax 函数
zandaoguang的博客
03-26 1615
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PyTorch 中的 Softmax 和 CrossEntropyLoss 详解
m0_68905122的博客
06-14 1167
设模型输出为 logits 向量zz1z2znzz1​z2​...zn​，真实标签为类别yyyLoss−log⁡ezy∑jezj−zylog⁡∑jezjLoss−log∑j​ezj​ezy​​−zy​logj∑​ezj​损失越小，表示模型对正确类别的置信度越高。Softmax是一种归一化函数，把 logits 变成概率；是损失函数，内部包含 Softmax；
Softmax公式及梯度计算
阿辉的博客
07-11 1万+
softmax是一个多分类器，可以计算预测对象属于各个类别的概率。 公式 yi=S(z)i=ezi∑j=1Cezj，i=1,...,Cy_i=S(\boldsymbol{z})_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{C}e^{z_j}}，i=1,...,Cyi​=S(z)i​=∑j=1C​ezj​ezi​​，i=1,...,C z\boldsymbol{z}z是上一层的输...
交叉熵损失函数（Cross_entropy loss）的梯度下降法中w和b的梯度问题
weixin_42869502的博客
04-08 1810
# 计算梯度值(?) def gradient(X, Y_label, w, b): # This function computes the gradient of cross entropy loss with respect to weight w and bias b. y_pred = forward(X, w, b) pred_error = Y_label - y_pred w_grad = -np.sum(pred_error * X.T, 1) b_
Softmax公式
MasterCayman的博客
10-29 2182
Softmax Cross Entropy 梯度推导
DevAejanlng的博客
10-29 2179
Softmax Cross Entropy 梯度推导Softmax的梯度Softmax交叉熵的梯度 Softmax的梯度 Softmax定义： pi=eai∑k=1Neak,i∈N p_i = \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}, \quad i\in N pi​=∑k=1N​eak​eai​​,i∈N 数值稳定的Softmax： eai∑k=1Neak=Ce...
简单谈谈Cross Entropy Loss
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06-23 18万+
写在前面 分类问题和回归问题是监督学习的两大种类。 神经网络模型的效果及优化的目标是通过损失函数来定义的。 回归问题解决的是对具体数值的预测。比如房价预测、销量预测等都是回归问题。这些问题需要预测的不是一个事先定义好的类别，而是一个任意实数。解决回顾问题的神经网络一般只有一个输出节点，这个节点的输出值就是预测值。对于回归问题，常用的损失函数是均方误差( MSE，mean squared ...
softmax梯度计算
SKEEa的博客
08-17 829
在实际计算中，会遇到数值稳定性(Numerical Stabiltity)的问题，因为我们的 efke^{f_{k}}efk​ 和 ∑jefj\sum_{j} e^{f_{j}}∑j​efj​ 太大了。大数之间相除很容易导致计算结果误差很大。因此这里需要使用下面的小技巧： efk∑jefj=CefkC∑jefj=efk+log⁡C∑jefj+log⁡c\frac{e^{f_{k}}}{\sum_{j} e^{f_{j}}}=\frac{C e^{f_{k}}}{C \sum_{j} e^{f_{j}}}=
pytorch中交叉熵损失(nn.CrossEntropyLoss())的计算过程详解
09-18
今天小编就为大家分享一篇pytorch中交叉熵损失(nn.CrossEntropyLoss())的计算过程详解，具有很好的参考价值，希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
softmax函数推导
01-01
softmax函数的详细推导过程，看完了就知道softmax怎么来的为什么这么弄。
SoftMax函数
SisterRu的博客
07-31 1455
Softmax函数是一种常用于多类分类任务的激活函数，其主要作用是将一个实数向量转换成一个概率分布。每个元素的值在(0)到(1)之间，并且所有元素的和为(1)。
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一、Softmax函数 在数学，尤其是概率论和相关领域中，Softmax函数，或称归一化指数函数，是逻辑函数的一种推广。它能将一个含任意实数的K维向量  “压缩”到另一个K维实向量  中，使得每一个元素的范围都在  之间，并且所有元素的和为1。 该函数的形式通常按下面的式子给出：                                                         ...
交叉熵损失（Cross Entropy Loss）计算过程
藏知阁
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在机器学习中（特别是分类模型），模型训练时，通常都是使用交叉熵（Cross-Entropy）作为损失进行最小化： CE(p,q)=−∑i=1Cpilog(qi)CE(p,q)=−∑i=1Cpilog(qi) 其中CC代表类别数。pipi为真实，qiqi为预测。 我们以MNIST多分类为例，通常Label会编码为One-Hot，最后一层输出会使用Softmax函数进行概率化输出，如下表所示： ...
Softmax函数公式详解
最新发布
Kent_Li的博客
08-02 290
实际应用中，为提高数值稳定性，常先对输入向量减去最大值（如 ( z_{\text{max}} = \max(z) )），以避免指数运算导致的溢出问题。Softmax还支持温度参数T调节分布平滑度：当T > 1时输出更平缓（用于模型蒸馏），T < 1时更偏向最大值类别。Softmax函数主要用于多分类问题的输出层，将任意实数向量转换为概率分布，确保所有输出值在0到1之间且总和为1。其中，分子 ( e^{z_i} ) 是指数运算，用于放大输入值之间的差异，使较大值更突出；
nn.CrossEntropyLoss()的具体计算过程
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nn.CrossEntropyLoss()函数的具体计算过程展示。
CrossEntropyLoss()公式
07-25
<think>首先，用户的问题是：“我想了解CrossEntropyLoss的数学公式和原理 请问CrossEntropyLoss 公式 数学表达 pytorch”。这涉及到PyTorch中的CrossEntropyLoss的数学公式和原理。 从系统级指令中，我需要： - 所有行内数学表达式使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 用户提供的引用包括： - [^1]: PyTorch实现CrossEntropyLoss示例。 - [^2]: nn.CrossEntropyLoss 是 LogSoftmax 和 nn.NLLLoss 的组合。 - [^3]: Balanced Cross Entropy的描述。 - [^4]: 参数weight、ignore_index、reduction要在实例化时指定。 - [^5]: 交叉熵损失函数在机器学习中的应用，包括KL散度和信息熵的关系。 这些引用是站内引用，我应该参考它们来支持我的回答，但用户说“上述引用仅供参考，并不是用户真正的需求”，所以我需要基于这些信息，但专注于用户的问题。 关键点： - CrossEntropyLoss 在PyTorch中是用于分类任务的损失函数。 - 数学公式：交叉熵损失。 - 原理：它测量预测概率分布和真实分布之间的差异。 CrossEntropyLoss的数学公式： 对于多类分类问题，交叉熵损失定义为： $$ \text{CrossEntropyLoss}(y, \hat{y}) = -\sum_{i=1}^{C} y_i \log(\hat{y}_i) $$ 其中： - $C$ 是类别数。 - $y_i$ 是真实标签的one-hot编码（即，对于正确类别为1，其他为0）。 - $\hat{y}_i$ 是预测的概率（通常通过softmax函数输出）。 在PyTorch中，nn.CrossEntropyLoss 不直接接受概率；它接受logits（未归一化的分数），然后内部应用LogSoftmax和NLLLoss。引用[^2]提到：“nn.CrossEntropyLoss 是 LogSoftmax 和 nn.NLLLoss 的组合。” 所以，数学上： 1. Logits: $z = [z_1, z_2, \ldots, z_C]$ 2. Softmax: $\hat{y}_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{C} e^{z_j}}$ 3. LogSoftmax: $\log(\hat{y}_i)$ 4. NLLLoss (Negative Log Likelihood): $-\log(\hat{y}_{\text{target}})$，其中 $\text{target}$ 是正确类别的索引。 因此，对于单个样本，损失是： $$ \text{loss} = -\log\left( \frac{e^{z_{\text{target}}}}{\sum_{j=1}^{C} e^{z_j}} \right) = -z_{\text{target}} + \log\left( \sum_{j=1}^{C} e^{z_j} \right) $$ 在批处理中，损失是所有样本损失的平均或总和，取决于reduction参数。 原理： - 交叉熵损失源于信息论，测量两个概率分布之间的差异。 - 如引用[^5]所说，交叉熵等于KL散度加上信息熵，但由于信息熵是常量，最小化交叉熵等价于最小化KL散度。 - 在分类任务中，它鼓励模型输出高概率给正确类别。 PyTorch特定： - 引用[^4]提到参数：weight（类别权重）、ignore_index（忽略某些类别）、reduction（'none', 'mean', 'sum'）。 - 引用[^3]提到weight用于处理类别不平衡。 回答结构： - 清晰、逐步：先介绍数学公式，然后原理，最后PyTorch实现。 - 使用中文。 - 生成相关问题。 生成相关问题： - 基于用户问题，问题应围绕CrossEntropyLoss的扩展，如优化、应用、变体等。 最终回答大纲： 1. 介绍CrossEntropyLoss：定义和在分类任务中的作用。 2. 数学公式：给出独立公式。 3. 原理：解释交叉熵的来源和为什么有效。 4. PyTorch实现：如何使用时，结合引用。 5. 相关问题：列出3-5个相关问题。</think>### CrossEntropyLoss 的数学公式与原理 CrossEntropyLoss（交叉熵损失）是机器学习中常用的损失函数，尤其在多类分类任务中（如图像分类、自然语言处理）。它通过测量模型预测概率分布与真实标签分布之间的差异来指导模型优化。在PyTorch中，`nn.CrossEntropyLoss` 是该损失函数的实现。下面我将逐步解释其数学公式、原理及PyTorch相关细节。 #### 1. **数学公式** 交叉熵损失源于信息论，用于量化两个概率分布之间的差异。给定一个样本，假设有 $C$ 个类别： - 令真实标签分布为 $y$（通常为one-hot编码，即正确类别为1，其他为0）。 - 令模型预测的概率分布为 $\hat{y}$（通过softmax函数将logits转换为概率）。 交叉熵损失的数学表达式为： $$ \text{CrossEntropyLoss}(y, \hat{y}) = -\sum_{i=1}^{C} y_i \log(\hat{y}_i) $$ 其中： - $y_i$ 是真实分布中第 $i$ 个类别的值（0或1）。 - $\hat{y}_i$ 是预测分布中第 $i$ 个类别的概率（$\hat{y}_i \in [0,1]$ 且 $\sum_{i=1}^{C} \hat{y}_i = 1$）。 在实际应用中，由于真实标签 $y$ 通常是one-hot形式（只有一个元素为1，其余为0），公式可简化为： $$ \text{loss} = -\log(\hat{y}_{\text{target}}) $$ 这里 $\text{target}$ 是正确类别的索引。例如，如果真实类别是第 $k$ 类，则 $y_k=1$，其他 $y_i=0$，损失简化为 $-\log(\hat{y}_k)$。 在PyTorch中，`nn.CrossEntropyLoss` 直接接受模型的原始输出（logits，未归一化的分数），而非概率 $\hat{y}$。内部实现分为两步： 1. **LogSoftmax**：将logits $z = [z_1, z_2, \ldots, z_C]$ 转换为对数概率： $$ \log(\hat{y}_i) = \log\left( \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{C} e^{z_j}} \right) = z_i - \log\left( \sum_{j=1}^{C} e^{z_j} \right) $$ 2. **NLLLoss（Negative Log Likelihood）**：计算负对数似然损失： $$ \text{loss} = -\log(\hat{y}_{\text{target}}) = -z_{\text{target}} + \log\left( \sum_{j=1}^{C} e^{z_j} \right) $$ 因此，PyTorch的CrossEntropyLoss本质是LogSoftmax和NLLLoss的组合[^2]。 对于批处理数据（多个样本），损失是所有样本损失的平均或总和，取决于`reduction`参数（如`'mean'`或`'sum'`）。 #### 2. **原理** 交叉熵损失的原理基于信息论中的KL散度（Kullback-Leibler Divergence）： - KL散度度量真实分布 $P$ 和预测分布 $Q$ 之间的差异： $$ D_{\text{KL}}(P \parallel Q) = \sum_{i} P(i) \log\left( \frac{P(i)}{Q(i)} \right) $$ - 交叉熵定义为： $$ H(P, Q) = -\sum_{i} P(i) \log(Q(i)) $$ - 两者关系为 $H(P, Q) = H(P) + D_{\text{KL}}(P \parallel Q)$，其中 $H(P)$ 是真实分布的信息熵（常量）。因此，最小化交叉熵等价于最小化KL散度，即让预测分布 $Q$ 逼近真实分布 $P$[^5]。 在分类任务中： - 真实分布 $P$ 是one-hot标签（确定性分布）。 - 预测分布 $Q$ 是模型输出的概率。 - 损失函数 $-\log(\hat{y}_{\text{target}})$ 惩罚低概率的预测：当模型对正确类别的预测概率 $\hat{y}_{\text{target}}$ 接近1时，损失接近0；当 $\hat{y}_{\text{target}}$ 接近0时，损失趋近无穷大，迫使模型提升置信度。 优点： - 梯度友好：损失函数是凸的，易于优化（如通过梯度下降）。 - 处理概率分布：天然适合分类问题，能直接优化模型输出的概率。 #### 3. **PyTorch实现细节** 在PyTorch中，`nn.CrossEntropyLoss` 提供了灵活的配置参数： - **输入要求**：直接接受logits（形状为 `(batch_size, C)` 或 `(batch_size, C, d1, d2, ...)`），无需手动应用softmax。 - **关键参数**： - `weight`（Tensor）：类别权重，用于处理类别不平衡（例如，对少数类赋予更高权重）[^3]。 - `ignore_index`（int）：指定忽略的类别索引（如-100），在计算损失时跳过这些标签。 - `reduction`（str）：控制输出形式，可选 `'none'`（返回每个样本的损失）、`'mean'`（默认，批平均损失）、`'sum'`（批损失总和）[^4]。 示例代码： ```python import torch import torch.nn as nn # 定义模型输出（logits）和真实标签 logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1], [0.5, 2.0, 0.3]]) # batch_size=2, C=3 targets = torch.tensor([0, 2]) # 真实类别索引 # 初始化CrossEntropyLoss（可选：添加类别权重） weights = torch.tensor([1.0, 2.0, 1.0]) # 第1类权重为2 loss_fn = nn.CrossEntropyLoss(weight=weights, reduction='mean') # 计算损失 loss = loss_fn(logits, targets) print(loss) # 输出标量损失值 ``` 在这个示例中： 1. Logits 通过内部LogSoftmax转换为概率。 2. 损失计算为 $-\log(\hat{y}_{\text{target}})$ 的加权平均。 #### 4. **应用与注意事项** - **应用场景**：广泛用于图像分类（如ResNet）、文本分类（如BERT）、目标检测等[^3]。 - **优化建议**： - 当类别不平衡时，使用 `weight` 参数提升少数类的权重。 - 结合标签平滑（Label Smoothing）防止模型过度自信[^1]。 - **局限性**：对噪声标签敏感；在类别极不平衡时可能需结合Focal Loss等变体[^3]。 CrossEntropyLoss是分类任务的基础，理解其数学本质有助于设计更鲁棒的模型[^5]。
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