dijkstra的优化，前向星（邻接表）+堆优化

最新推荐文章于 2024-02-05 20:16:36 发布

原创最新推荐文章于 2024-02-05 20:16:36 发布 · 229 阅读

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#算法 #数据结构 #c++

本文介绍了如何使用前向星（邻接表）和堆优化来改进Dijkstra算法，以解决稠密图中的单源最短路径问题。通过一个功夫传人的问题实例，展示了如何用vector数组和前向星数据结构替代二维数组，并通过堆优化减少时间复杂度。文章还提供了代码示例和堆优化的解释。

之前我一直是用最简单的dijkstra做单源最短路的，但是遇到了稠密图，n=1e4之类的题时O（n²）的dijksta就不行了，之前一直对邻接表（前向星）和堆优化望而生畏，但学习了之后，其实很简单，不需要被名字吓到了。
在讲前向星之前，我先讲一个神奇的东西——vector< class > a[N],vector数组。这个东西极其的好用，以至于你会了这个可以近乎替代前向星（在某些临界情况时前向星的时间复杂度更低），同时对理解前向星也有一些帮助。
前向星和vector数组一样都是用来解决开二维数组空间不够大的问题的，特别表现在图论中，所以我将下面这题作为切入口
https://pintia.cn/problem-sets/994805046380707840/problems/994805059118809088
L2-020 功夫传人 (25分)
一门武功能否传承久远并被发扬光大，是要看缘分的。一般来说，师傅传授给徒弟的武功总要打个折扣，于是越往后传，弟子们的功夫就越弱…… 直到某一支的某一代突然出现一个天分特别高的弟子（或者是吃到了灵丹、挖到了特别的秘笈），会将功夫的威力一下子放大N倍 —— 我们称这种弟子为“得道者”。
这里我们来考察某一位祖师爷门下的徒子徒孙家谱：假设家谱中的每个人只有1位师傅（除了祖师爷没有师傅）；每位师傅可以带很多徒弟；并且假设辈分严格有序，即祖师爷这门武功的每个第i代传人只能在第i-1代传人中拜1个师傅。我们假设已知祖师爷的功力值为Z，每向下传承一代，就会减弱r%，除非某一代弟子得道。现给出师门谱系关系，要求你算出所有得道者的功力总值。
输入格式：
输入在第一行给出3个正整数，分别是：N（≤105）——整个师门的总人数（于是每个人从0到N−1编号，祖师爷的编号为0）；Z——祖师爷的功力值（不一定是整数，但起码是正数）；r ——每传一代功夫所打的折扣百分比值（不超过100的正数）。接下来有N行，第i行（i=0,⋯,N−1）描述编号为i的人所传的徒弟，格式为：
Ki ID[1] ID[2] ⋯ ID[Ki]
其中Ki是徒弟的个数，后面跟的是各位徒弟的编号，数字间以空格间隔。Ki为零表示这是一位得道者，这时后面跟的一个数字表示其武功被放大的倍数。
输出格式：
在一行中输出所有得道者的功力总值，只保留其整数部分。题目保证输入和正确的输出都不超过1010。
输入样例：
10 18.0 1.00
3 2 3 5
1 9
1 4
1 7
0 7
2 6 1
1 8
0 9
0 4
0 3
输出样例：
404
这个问题比较简单，dfs就可以解决，关键是开二维数组空间不够大，因此我们可以用vector数组解决，向每个师傅的vector中加入徒弟，深搜时遍历每个师傅的徒弟就行了。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;

using namespace std;

const int N=1e5;
vector<int> v[N+5];
double bei[N+5];
double ans=0;
void dfs(int p,double gong,double r)
{
    if(fabs(bei[p])<1e-8)
    {
    for(int i=0;i<v[p].size();++i)
        dfs(v[p][i],gong*(100-r)/100,r);
    }
    else 
    ans+=gong*bei[p];
}
int main()
{
    int n,x;
    double z,r,f;
    cin>>n>>z>>r;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        int k=0;
        cin>>k;
        if(!k)
        scanf("%lf",&f),bei[i]=f;
        while(k--)
        {
        scanf("%d",&x);
        v[i].push_back(x);
        }
    }
    dfs(0,z,r);
    cout<<(int)ans<<endl;
    getchar();
    getchar();
}

接下来就讲解前向星了，我们需要一个链式结构来达到和vector数组同样的效果，对于每一个师徒关系，我们可以理解为图中的一条边，用图论的知识进行解决。
这里我替换了两处代码
分别是

void add(int x)
{
    nex[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    ++cnt;
}

if(fabs(bei[p])<1e-8)
    {
    for(int k=head[p];k!=-1;k=nex[k])
        dfs(e[k],gong*(100-r)/100,r);
    }

师徒关系可以抽象为二者之间的一条边，我用一个head和nex数组完成了vector数组的功能，具体是，head【i】存储第i个人的最后一条边，nex【i】存储i边的下一条边，因此add函数就是前向星，也叫邻接表，遍历的方法在上面也给出了
下面给出完整代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;

using namespace std;

const int N=1e5;
vector<int> v[N+5];
double bei[N+5];
double ans=0;
int e[N+5],head[N+5],nex[N+5];
int cnt=0;
void add(int x)
{
    nex[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    ++cnt;
}
void dfs(int p,double gong,double r)
{
    if(fabs(bei[p])<1e-8)
    {
    for(int k=head[p];k!=-1;k=nex[k])
        dfs(e[k],gong*(100-r)/100,r);
    }
    else 
    ans+=gong*bei[p];
}
int main()
{
    int n,x;
    double z,r,f;
    cin>>n>>z>>r;
    for(int i=0;i<n;++i)
    head[i]=-1;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        int k=0;
        cin>>k;
        if(!k)
        scanf("%lf",&f),bei[i]=f;
        while(k--)
        {
            scanf("%d",&e[cnt]);
            add(i);
        }
    }
    dfs(0,z,r);
    cout<<(int)ans<<endl;
    getchar();
    getchar();
}

还有对于他的堆优化，dijkstra每次需要遍历一遍寻找dis最小的顶点，因此堆优化就是用优先队列（priority_queue）把更新了（dis值比之前更小的点加入到队列中），每次的队首就是最小的，因此可以在nlogn的时间内完成。
学会了这个快去dijkstra试试吧
单源最短路邻接表+堆优化模板题

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;

using namespace std;

const int MAXN=5e5,inf=pow(2,31)-1;
class edge
{
public:
    int u;
    int v;
    int w;
};
class node
{
public:
    int i;
    int w;
    bool operator<(const node& a) const
    {
        return w>a.w;
    } 
};
edge e[MAXN+5];
int head[MAXN+5],nex[MAXN+5],dis[MAXN+5],vis[MAXN+5];
vector<pair<int,int> > v[MAXN+5];
void dijkstra(int n,int m,int s)
{
    for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=inf,vis[i]=0;
    dis[s]=0;
    priority_queue<node> q;
    q.push({s,0});
    while(!q.empty())
    {
        int index=q.top().i;
        q.pop();
        //int k=head[index];
        if(vis[index]) continue;
        vis[index]=1;
        for(int i=0;i<v[index].size();++i)
        {
            if(dis[v[index][i].first]>dis[index]+v[index][i].second)
            {
            dis[v[index][i].first]=dis[index]+v[index][i].second;
            q.push({v[index][i].first,dis[v[index][i].first]});
            }

        }
        /*while(k!=-1)
        {
            if(dis[e[k].v]>dis[e[k].u]+e[k].w)
            dis[e[k].v]=dis[e[k].u]+e[k].w,q.push({e[k].v,dis[e[k].v]});
            k=nex[k];
        }*/
    }
}
int main()
{
    int n,m,s;
    int x,y,w;
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<=n;++i) head[i]=-1;
    for(int i=1;i<=m;++i) nex[i]=-1;
    for(int i=1;i<=m;++i) 
    {
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
        v[x].push_back({y,w});
        //scanf("%d %d %d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
        //nex[i]=head[e[i].u];
        //head[e[i].u]=i;
    }
    dijkstra(n,m,s);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(i>1)
        printf(" ");
    printf("%d",dis[i]);
    }
    printf("\n");
getchar();
getchar();
}