红黑树的理解

红黑树的五条性质

1. 每个结点要么是红的，要么是黑的。
2. 根节点是黑的。
3. 每个叶节点是黑的（NIL指针）。
4. 如果一个结点是红的，那么它的两个子节点是黑的。
5. 任取一个点，它到所有它的子树上的NIL结点的路径上黑结点数目是相等的。

由性质5可以保证红黑树上的查找是 $O(logn)$ 的。

红黑树的插入

红黑树的插入参考了这篇文章。
假设插入的新结点的初始颜色是红色。设插入的结点是N，父节点是P，祖父节点是G，叔叔结点是U。
1. 如果一开始是空树，将其刷黑即可。
2. 如果P是黑色，则不会破坏红黑树的任何性质，无需调整。
3. 如果P是红色，则破坏了性质4，需要调整。
插入前该树是一棵合法的红黑树，因此根据性质4，G是黑色的。
(1)如果U也是红色。那么将U和P染成黑色，G染成红色，这样不会影响性质5，然后把U当成当前结点继续调整。
(2)如果U是黑色且N是P的右结点，将N-P左旋使得变成情况3。
(3)如果U是黑色且N是P的左结点，将N-P-G右旋，且将G染成红色，P染成黑色，使之不违反性质5和性质2。

红黑树的删除

红黑树的删除参考了维基百科。
若要删的结点是叶子结点（即两个儿子都是NIL），我们将其中任意一看成它的儿子。
若要删除的结点有两个非NIL儿子，可以用它的直接前继（通常是它左子树的右下角那个结点）或者它的直接后继（通常是它右子树左下角那个结点）的值来代替它，然后删除这个用来代替的结点。这个结点显然不会有2个非NIL儿子。
这样我们要讨论的就是删除只有一个叶子结点的这个结点的情况。

如果该结点是红色，那么删除它不会影响红黑树的任何性质。
如果该结点是黑色，且它的儿子是红色，将该结点删去，儿子结点刷黑即可。
因此剩下的就只有该结点和儿子都是黑色的情况。
我们把要删除结点的儿子替换要删除的结点。称呼其为N，它的父亲为P，兄弟为S。
1. 如果N是根，则不需要任何其它操作，因为这相当于从所有路径上删除一个黑结点。
2. 如果S是红色，此时P肯定是黑色，将N-P-S左旋，这样每条路径上的黑结点数目和调整前相同，此时N有了一个黑色 的兄弟，继续根据4，5，6调整。
3. 如果S和S的儿子是黑色，P也是黑色，将S涂红，这样以P为根的子树符合所有性质，但P祖先的性质不符合了，此时需要在P上重新回到1进行调整。
4. 如果S和S的儿子是黑色，P是红色，则将P涂黑，S涂红，这样满足了所有性质。
5. 如果S是黑色，S的左儿子是红色，右儿子是黑色，且N是P的左儿子，我们将S右旋，将S涂红，S的左儿子涂黑，这样每条路径的值并没发生修改，但是P有了一个黑色右儿子且右儿子为红，进入6继续调整。
6. 如果S是黑色，其右儿子是红色，且N是P的左儿子，此时将P左旋，将P和S的颜色调换，可以保证满足性质5。