快速幂（整数快速幂+矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2024-10-24 19:05:02 发布

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分类专栏：算法总结

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本文介绍了整数快速幂和矩阵快速幂的概念与实现方法，并通过斐波那契数列问题展示了矩阵快速幂的实际应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1、整数快速幂

例如求x^8 就是x*x*x*x*x*x*x*x

正常的运算方式是，x的值一个个往上乘上去，乘法运算运行7次

（x x)(x x) (x x)(x x)

也可以采用这种运算方式，先进行乘法得到x^2再对x^2进行三次乘法。这种运算要明显比第一种情况要快

所以对于整数快速幂，也是结合了这种思想

（x^m)*(x^n)=x^(m+n)

x^19=(x^16)(x^2)(x^1)

//整数快速幂
int QuickPow(int x,int N)
{
    int res = x;
    int ans = 1;
    while(N)
    {
        if(N&1)
        {
            ans = ans * res;
        }
        res = res*res;
        N = N>>1;
    }
    return ans;
}

2、矩阵快速幂

struct Matrix  //结构体，矩阵类型
{
    int m[maxn][maxn];
}ans,res;
 
//计算矩阵乘法的函数，参数是矩阵a，矩阵b和一个n，代表这两个矩阵是几阶方阵
Maxtrix Mul(Maxtrix A,Maxtrix B,int n)
{
    Matrix tmp;//定义一个临时的矩阵，存放A*B的结果
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            tmp.m[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                tmp.m[i][j]+=A.m[i][k]*B.m[k][j];
    return tmp;
}
 
//快速幂算法，求矩阵res的N次幂
void QuickPower(int N,int n)
{
    //对于整数求幂来说，ans初始化为1，对于矩阵乘法来说，ans应初始化为单位阵
    //对于单位矩阵来说，任何矩阵A*E=A
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j) 
                ans.m[i][j]=1;
            else 
                ans.m[i][j]=0;
        }
    while(N)
    {
        if(N&1)
            ans=Mul(ans,res);
        res=Mul(res,res);
        N=N>>1;
    }
}

3.示例：斐波那契数列 POJ3070

f[n]=f[n-1]+f[n-2]

f[0]=0,f[1]=1;

斐波那契数列是一个递推式求出来的

第n+1项由第n项和第n-1项递推而来

因此可以用矩阵表示：
$\begin{bmatrix} F(n)\\ F(n-1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1)\\ F(n-2) \end{bmatrix}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define mod 10000

struct Matrix
{
    int a[M][M];
    Matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void init()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<M;i++)
            a[i][i]=1;
    }
}A;

Matrix mul(Matrix a,Matrix b)//(a*b)%mod
{
    Matrix ans;
    int i,j,k;
    for(i=0;i<M;i++)
        for(j=0;j<M;j++)
        {
            for(k=0;k<M;k++)
                ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
            ans.a[i][j]%=mod;
        }
    return ans;
}

Matrix pow(Matrix a,int n)//(a^n)%mod
{
    Matrix ans;
    ans.init();
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=mul(ans,a);
        n>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return ans;
}
 
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==-1)
            break;
        if(n==0)
            cout<<0<<endl;
        else if(n==1)
            cout<<1<<endl;
        else
        {
            A.a[0][0]=1;
            A.a[0][1]=1;
            A.a[1][0]=1;
            A.a[1][1]=0;
            A=pow(A,n-2);
            printf("%d\n",(A.a[0][0]+A.a[0][1])%mod);
        }
    }
    return 0;
}