滤波器阶数

阶数越高,截止频率等参数越精确,但是电路结构也越复杂。 简单说比如你的截止频率是 100HZ, 你只有2阶的话可能实际的截止平率是95-1000HZ,衰减比较慢,但如果是20阶的话,可能截止频率就变成了95-105HZ,衰减很快。但是阶数上升,实际电路的结构就会非常的复杂,浪费资源。
滤波器的阶数,就是指过滤谐波的次数,一般来讲,同样的滤波器,其阶数越高,滤波效果就越好,但是,阶数越高,成本也就越高,因此,选择合适的阶数是非常重要的。
在我们描述一个滤波器时,会通过一组系数来确定滤波器的性能,用MATLAB的FDATOOL设计滤波器时,实际上就是我们设定参数,让它产生一组系数来实现,描述这个滤波器的系数的个数就是滤波器的长度,我们知道,滤波过程就是一个卷积过程,是让信号序列和这一组系数去卷积,滤波后的长度按卷积时的长度计算就是(信号序列长度+滤波器长度-1),这里讲的滤波器长度就应该是滤波器的系数个数,
### 巴特沃斯滤波器阶数的选择与计算 巴特沃斯滤波器是一种广泛应用于信号处理中的经典滤波器,其特点在于通带内具有最大平坦特性[^3]。为了满足特定的设计需求,通常需要选择合适的滤波器阶数 $ N $。以下是关于如何计算或选择巴特沃斯滤波器阶数的相关理论。 #### 阶数的定义及其意义 巴特沃斯滤波器阶数决定了滤波器在阻带区域的衰减速率以及过渡带宽度。对于给定的技术指标(如通带纹波、阻带抑制水平和截止频率),可以通过解析公式来确定最小所需的阶数 $ N $。具体来说: $$ H(s) = \frac{G}{\sqrt{1+\left(\omega/\omega_c\right)^{2N}}} $$ 其中: - $ H(s) $ 是系统的传递函数, - $ G $ 表示增益常量, - $ \omega_c $ 是截至角频率, - $ N $ 是滤波器阶数。 通过调整 $ N $ 的大小可以控制滤波器性能,更高次意味着更快的滚降速率,但也可能引入更多的复杂性和实现难度。 #### 计算公式的推导过程 假设已知以下参数: - 通带边缘频率 ($ f_p $ 或者 $\omega_p$), - 阻带起始频率 ($f_s$ 或者$\omega_s$), - 对应于这两个位置的最大允许损耗分别为Ap(dB)(passband ripple) 和 As(dB)(stopband attenuation). 那么可以根据下面两个条件方程求解出最低必要阶数: $$ A_{p}=-20log(|H(jw)|)=20log(1/(√((wp/wc)**(2*N)+1)))<=Rp[dB], at wp=ωp/ωc; $$ $$ A_{s}=−20∗log⁡(|H(jws)|)=20∗log⁡(1/(√((ws/ws)**(2∗N)+1)))>=As[dB],at ws=ωs/ωc. $$ 整理上述不等式可得如下表达形式用于估算所需最小整数值作为实际应用中的阶数n: $$ N >= (log₁₀[(10^(Ap/10)-1)/(10^(As/10)-1)]) / (2*log₁₀(ws/wp)). $$ 此即为决定巴特沃思型低通滤波器至少要达到几级才能符合规格所依据的主要关系之一[^1]. 另外值得注意的是当涉及到高通情况时只需简单互换变量即可得到相应结果. #### MATLAB 实现代码示例 利用MATLAB内置功能butter()可以直接获取指定类型的Butterworth IIR filter系数而无需手动完成繁琐运算操作. 下面给出一段简单的调用例子展示怎样快速构建一个四LPF并绘制幅度响应图形: ```matlab % Define specifications fs = 1e3; % Sampling frequency in Hz fc = 200; % Cutoff frequency in Hz order = 4; [b,a]= butter(order, fc/(fs/2),'low'); [h,freqVec] = freqz(b,a,[], fs); figure(); plot(freqVec*fs/2/pi ,abs(h)); title('Magnitude Response of Butterworth Low Pass Filter'); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('|H(f)|'); grid on; ```
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