从01背包问题理解动态规划

最新推荐文章于 2025-06-17 22:29:32 发布

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分类专栏：数据结构与算法设计

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本文通过一个具体的01背包问题实例，介绍了如何利用动态规划的方法解决该问题，并给出了详细的步骤和代码实现。通过构建表格逐步推导出最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

01背包问题具体例子：

假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

　　动态规划的思路：先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

　　表达式中各个符号的具体含义。

　　w[i] : 第i个物体的重量；

　　p[i] : 第i个物体的价值；

　　c[i][m] ：前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m] ：前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m-w[i]] ：前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

　　由此可得：c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）

　　根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（http://blog.youkuaiyun.com/fg2006/article/details/6766384?reload），当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

#include<iostream>
//#include<vector>
using namespace std;

int c[10][100]={0};//n+1最大为10，m+1最大为100

void knap(int m,int n){
	int *w=new int[n+1];
	int *p=new int[n+1];
    int i,j;
    for(i=1;i<n+1;i++)
        cin>>w[i]>>p[i];
    for(i=1;i<n+1;i++){
        for(j=1;j<m+1;j++){
			if(j<w[i]){
				c[i][j]=c[i-1][j];
				continue;
			}
			else if(c[i-1][j-w[i]]+p[i]>c[i-1][j])
				c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];
			else
				c[i][j]=c[i-1][j];
		}
	}
	delete[] w;
	delete[] p;
	w=NULL;
	p=NULL;
}            

int main(){
    int m,n;
	int i,j;
	cin>>m>>n;
    knap(m,n);
	//输出矩阵
    for(i=0;i<=n;i++){
        for(j=0;j<=m;j++)
			cout<<c[i][j]<<"   ";
		cout<<endl;
	}
	system("pause");
}