SCOI2010——字符串（Catalan数）

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探讨使用Catalan数解决特定字符串生成问题的方法。任务要求由n个1和m个1构成的字符串中，任意前k个字符1的数量不少于0的数量。通过数学转换和编程实现，计算出满足条件的字符串数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】
lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？
【输入】
输入数据是一行，包括2个数字n和m
【输出】
输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数
【样例输入】
2 2
【样例输出】
2
【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000

对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

解析：

这是一道关于Catalan数的“数学题"。。。

首先，一共m+n个数，组合数为c（m，m+n）；

接下来进行转化：1对应往右上角走；0对应往右下角走

1的个数=0的个数:y=0;

1的个数<0的个数（不成立）y=-1；

(0,0）关于y=-1对称的点（0，-2）。。。即不成立的情况：从（0，-2）到（n+m,n-m）的路径总数为c（m-1，m+n）

综上：ans=c（m，n+m）-（m-1，n+m）

在1到mod中枚举ans并输出

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=20100403;

int n,m;

int main()
{
    freopen("scoi20104.in","r",stdin);
    freopen("scoi20104.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    long long num=n-m+1;
    for(long long i=n+2;i<=n+m;i++)
    (num*=i)%=mod;
    long long dfs=1;
    for(long long i=1;i<=m;i++)
        (dfs*=i)%=mod;
    for(int i=0;i<=mod;i++)
        if((i*dfs)%mod==num)
        {
            cout<<i;
            break;
        }
    return 0;
}