组合数快速求解

本文介绍了一种快速计算阶乘(n!)中各质因数出现次数的方法,该方法通过对质因数K的个数f(k)进行计算,利用循环结构实现高效分解,适用于组合数学中的C(N,M)计算。

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 对于组合数中要求C(N,M)的话,一般常用的方法就是对除号的上下分别进行质因子分解,但同样是质因子分解也可以有不同的解法.

  下面给出一种较快的方法:

  将(n!)质因数分解的算法

  (注意是直接分解(n!),而不是将(1,2,3...n)一项一项分解)

  如果k是一个质数,f(k)表示里质因数K的个数

  f(k)=n/k+n/(k*k)+n/(k+k+k)+...n/(k^m);

  其中m是使n/(k^m)是正数的最大的整数;

  下面给出核心部分的代码:

  01 while (biao[j]<=n)//N为要分解的阶乘

  02     {

  03           int q=biao[j];//biao数组中记录的是质数表.

  04           while (q<=n)

  05           {

  06                 timee[j]+=(n/q);//将质因子的次数存入TIMEE中。

  07                 q=q*biao[j];

  08           }

  09           j++;

  10     }

### Java 实现高效计算组合数 为了提高组合数计算效率,在Java中可以采用预处理阶乘及其逆元的方式,从而使得每次查询的时间复杂度降低到O(1),而预处理时间复杂度为O(n log n)[^2]。 下面展示了一个基于模运算下的快速幂以及组合数求解方法: ```java import java.util.Arrays; public class CombinationCalculator { private static final int MOD = (int) 1e9 + 7; public static void main(String[] args) { long startTime = System.currentTimeMillis(); int maxN = 1000; // 预设最大n值 long[] factorial = new long[maxN + 1]; long[] inverseFactorial = new long[maxN + 1]; preprocess(factorial, inverseFactorial); int n = 500; int k = 250; System.out.println(combine(n, k, factorial, inverseFactorial)); long endTime = System.currentTimeMillis(); System.out.println("Time cost: " + (endTime - startTime)); } private static void preprocess(long[] fact, long[] invFact){ int N = fact.length - 1; fact[0] = invFact[0] = 1; for(int i=1;i<=N;++i){ fact[i]=fact[i-1]*i%MOD; invFact[i]=(long)((modInverse(fact[i], MOD)))*invFact[i-1]%MOD; } } private static int combine(int n,int r,long[] f,long[] fi){ if(r>n || r<0)return 0; return (int)(f[n]*(fi[r]*fi[n-r])%MOD); } private static long modInverse(long a, long m){ long m0=m,y=0,x=1; if(m==1)return 0; while(a>1){ long q=a/m; long t=m; m=a%m;a=t;t=y;y=x-q*y;x=t; } if(x<0)x+=m0; return x; } } ``` 此程序首先通过`preprocess()`函数预先计算并存储所有不大于设定上限的阶乘和其对应的逆元。之后调用`combine()`来获取指定参数下组合数的结果。这种方法特别适合多次询问同一范围内的不同组合数值的情况。
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